[論文レビュー] A Dynamics Driven by Repeated Harmonic Perturbations

Hiroshi Tamura, Valentin A. Zagrebnov|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一モードの量子調和振動子に繰り返し調和摂動を加える系について、正確に解ける $W^{*}$-動的系を提案する。ハミルトニアン的で準自由なダイナミクスにもかかわらず、明示的なエントロピー生成を伴う定常状態に緩和することを示している。緩和は無限個の同一な振動子からなる鎖と繰り返し相互作用することに起因し、短時間相互作用の極限においてダイナミクスは普遍性を示す。

ABSTRACT

We propose an exactly soluble W*-dynamical system generated by repeated harmonic perturbations of the one-mode quantum oscillator. In the present paper we deal with the case of isolated system. Although dynamics is Hamiltonian and quasi-free, it produces relaxation of initial state of the system to the steady state in the large-time limit. The relaxation is accompanied by the entropy production and we found explicitly the rate for it. Besides, we study evolution of subsystems to elucidate their eventual correlations and convergence to equilibrium state. Finally we prove a universality of the dynamics driven by repeated harmonic perturbations in a certain short-time interaction limit.

研究の動機と目的

• 一モードの量子調和振動子に繰り返し調和摂動を加えることによって駆動される正確に解ける $W^{*}$-ダイナミクス系の構築。
• ユニタリで準自由なダイナミクスにもかかわらず、初期状態が時間的に大規模な極限において定常状態に緩和する挙動の分析。
• 緩和過程における明示的なエントロピー生成レートの計算。
• 部分系の時間発展とそれらの最終的な相関関係、および平衡状態への収束の研究。
• 短時間相互作用の極限においてダイナミクスの普遍性の証明。

提案手法

• 系を等間隔の時刻に無限個の同一な振動子からなる鎖と繰り返し相互作用させるモデルとして定式化する。
• 系および鎖の各成分に対して、正準可換関係（CCR）を満たすフォック空間表現を用い、消滅演算子 $a, a^*$ を定義する。
• $N$ 回の相互作用に対して有限テンソル積 $\mathscr{H}^{(N)} = \mathscr{F}^{\otimes(N+1)}$ として全ヒルベルト空間を構成し、その後 $N \to \infty$ の極限をとる。
• 系のハミルトニアンを $H_{\mathcal{S}} = E b_0^* b_0$ と定義し、鎖の各振動子には $\epsilon$-間隔のハミルトニアンを設定し、離散的時刻に $\mathcal{S}$ と $\mathcal{S}_k$ を結合する相互作用項を導入する。
• ウィリー代数と $W^{*}$-ダイナミクスの枠組みを用いることで、ボソン系における $C^*$-アプローチの問題を避けるために時間発展演算子の $w^*$-連続性を保証する。
• アラキ＝セゴールの定理を用いて、状態を特性関数 $E_\omega(\zeta) = \omega(W(\zeta))$ によって特徴づけ、弱*-位相における収束解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン的で準自由な量子系が、繰り返し調和摂動を受ける際に緩和とエントロピー生成を示すことができるか？
• RQ2 このような系における明示的なエントロピー生成レートは何か？
• RQ3 部分系は時間とともにどのように発展し、相関関係を形成するのか？ また、それらは共通の平衡状態に収束するか？
• RQ4 短時間相互作用の極限において、長時間ダイナミクスは普遍的か？
• RQ5 $W^{*}$-ダイナミクス系の枠組みは、ユニタリな時間発展演算子のもとで、なぜ不可逆的挙動を正しく捉えることができるのか？

主な発見

• 系はハミルトニアン的で準自由なダイナミクスであるにもかかわらず、時間的に大規模な極限において定常状態に緩和する。
• 明示的に計算されたレートを伴うエントロピー生成が発生し、不可逆的挙動が定量的に評価される。
• 部分系は平衡状態に収束し、有限 $N$ 近似における縮約密度行列の時間発展演算を通じて相関関係が解析される。
• 短時間相互作用の極限においてダイナミクスは普遍的であり、適切にスケーリングされた場合、長時間挙動は相互作用時間に依存しない。
• $W^{*}$-ダイナミクス系の枠組みは、$w^*$-連続な時間発展演算と弱*-収束する状態を備えており、不可逆的緩和を的確に記述する。
• 特性関数 $E_\omega(\zeta)$ は正規状態を完全に特徴づけ、状態の弱*-収束はこれらの関数の収束と同値である。