[論文レビュー] A family of (2+1)-dimensional hydrodynamic type systems possessing pseudopotential

Alexander Odesskii|ArXiv.org|Apr 26, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有理係数をもつ線形偏微分方程式系の解を活用することで、n ≥ 2 個の従属変数をもつ一般の (2+1) 次元可積分流体型系の族を構成する。主な貢献は、スカラー擬ポテンシャルをもつような系の完全分類であり、n=2 の場合、有理係数線形偏微分方程式系の3つの線形独立解を用いて、可積分性分類問題の一般解が得られ、n > 2 の場合に楕円的類似が導入される。

ABSTRACT

We construct a family of integrable hydrodynamic type systems with three independent and n>1 dependent variables in terms of solutions of linear system of PDEs with rational coefficients. We choose the existence of a pseudopotential as a criterion of integrability. In the case n=2 this family is a general solution of the classification problem for such systems. We give also an elliptic analog of this family in the case n>2.

研究の動機と目的

• 可積分 (2+1) 次元流体型系の分類問題に対して、n=2 成分の場合の一般解を提供すること。
• 擬ポテンシャル基準を用いて、n>2 成分の系への分類を拡張すること。
• theta関数およびモジュラーパラメータを用いて、n>2 の系に対する楕円的類似を構成すること。
• 可積分系と有理係数線形偏微分方程式の解との間の対応関係を確立すること。
• n=2 の系において、スカラー擬ポテンシャルの存在が可積分性を完全に特徴づけること。

提案手法

• 有理係数線形偏微分方程式系の解を用いて可積分系を構成する方法であり、系の構造は3つの線形独立解によって決定される。
• n=2 の場合、有理係数線形偏微分方程式の3次元解空間に基づき、独立変数 t, x, y に GL₃ 対称性が作用する。
• 擬ポテンシャルはパラメトリック系 (Ψ_y = F, Ψ_t = G, Ψ_x = H) により定義され、整合性条件から u_i の微係数に関する準線形系が導かれる。
• 楕円的ケースでは、theta関数 θ(z; τ) が用いられ、ϕ, ϕ₁, ϕ₂ は theta空間 Θₙ,ᵤ₁₊⋯₊ᵤₙ₋ᵋ(τ) 内の線形独立解として選ばれる。
• f(ξ, u) および g(ξ, u) の PDE を q(ξ, u) について解くことで系が導かれる。ここで fξ = ϕ₁/ϕ、gξ = ϕ₂/ϕ であり、fuᵢ, Guill, および fξguᵢ − gξfuᵢ は ϕ, ϕ₁, ϕ₂ および補助関数 μᵢ, νᵢ, ϑᵢ を用いて表現される。
• 擬ポテンシャル系の整合性は、関数空間 {fuᵢ, guᵢ, fξguᵢ − gξfuᵢ} が n 次元空間をなすこと、したがって Lemma 2 が成り立つことによって確認される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の n ≥ 2 に対して、擬ポテンシャルをもつ (2+1) 次元流体型系の一般族を構成できるか？
• RQ2 有理係数線形偏微分方程式の解を用いて構成された族は、n=2 の場合の可積分性分類問題の完全な解であるか？
• RQ3 theta関数およびモジュラーパラメータを用いて、楕円的類似への構成を拡張できるか？
• RQ4 n=2 の場合の解空間において、GL₃ 対称性の役割は何か？
• RQ5 基礎となる代数的曲線 K = {(u,v) | S(u,v)=0} の種数は、可積分系の構造にどのように影響するか？

主な発見

• n=2 の場合、有理係数線形偏微分方程式系の3つの線形独立解を用いて構成された系の族は、可積分流体型系の分類問題の一般解を提供する。
• 系はスカラー擬ポテンシャルの存在によって完全に特徴づけられ、この条件は n=2 の系において可積分性の必要十分条件である。
• n>2 の場合、有理係数線形偏微分方程式系の (n+1) 次元解空間に基づき、構成が一般化される。
• theta関数を用いた楕円的類似が構成され、ϕ, ϕ₁, ϕ₂ は theta空間 Θₙ,ᵤ₁₊⋯₊ᵤₙ₋ᵋ(τ) 内の線形独立解として選ばれ、特定の微分系を満たす。
• 関数空間 {fuᵢ, guᵢ, fξguᵢ − gξfuᵢ} が n 次元をなすことにより、擬ポテンシャル系の整合性が保証され、Lemma 2 によって示される。
• 楕円的擬ポテンシャルから導かれる系 (4.43) は、平行移動 uᵢ → uᵢ + v に関して不変であり、n=3 の場合に自明な関係に還元されるため、非自明な構造を得るには n>3 が必要である。