[論文レビュー] A family of conforming mixed finite elements for linear elasticity on triangular grids

Jun Hu, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用数 48

ひとこと要約

本稿では、三角形メッシュ上の線形弾性のための、$C^0$-$P_k$ ストレス近似に $(k-1)$ 個の $H(\operatorname{div})$ エッジバブル関数を付加し、$k \geq 3$ の場合に不連続な $P_{k-1}$ 位移空間を用いる、新しい適合型混合有限要素族を提案する。主な貢献は、フォルティン作用素に依存しない、離散インフラ・サブ条件の新規な安定性証明であり、これにより従来のアーノルド＝ウィンター要素よりもはるかに単純な基底構成で、最適な $P_k$ ストレスおよび $P_{k-1}$ 位移収束が達成可能となる。

ABSTRACT

This paper presents a family of mixed finite elements on triangular grids for solving the classical Hellinger-Reissner mixed problem of the elasticity equations. In these elements, the matrix-valued stress field is approximated by the full $C^0$-$P_k$ space enriched by $(k-1)$ $H(\d)$ edge bubble functions on each internal edge, while the displacement field by the full discontinuous $P_{k-1}$ vector-valued space, for the polynomial degree $k\ge 3$. The main challenge is to find the correct stress finite element space matching the full $C^{-1}$-$P_{k-1}$ displacement space. The discrete stability analysis for the inf-sup condition does not rely on the usual Fortin operator, which is difficult to construct. It is done by characterizing the divergence of local stress space which covers the $P_{k-1}$ space of displacement orthogonal to the local rigid-motion. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate are proved for this family of finite elements. Numerical tests are presented to confirm the theoretical results.

研究の動機と目的

• 従来の手法と比較して、ストレステンソル基底構成を簡略化した、三角形メッシュ上での線形弾性の安定的かつ適合型混合有限要素法の開発。
• 三角形要素に対してフォルティン作用素を構築するのが困難であるため、その依存を避けながら離散インフラ・サブ安定性を証明する課題の克服。
• 最小限で計算的に効率的なストレステンソル空間を用いて、ストレステンソル（$P_k$）および位移（$P_{k-1}$）近似の両方で最適収束率を達成すること。
• 元のアーノルド＝ウィンター要素に存在する近似能力を持たない余分な $P_{k+1}$-バブル関数を排除し、自由度と複雑さを低減すること。

提案手法

• 内部エッジごとに、$(k-1)$ 個の $H(\operatorname{div})$ エッジバブル関数を付加した完全な $C^0$-$P_k$ 空間を用いてストレステンソルを近似する。
• $k \geq 3$ の場合に、不連続なベクトル値 $P_{k-1}$ 空間を用いて位移場を近似する。
• 局所的ストレステンソル空間の発散を、局所的剛体運動に直交する $P_{k-1}$ 空間をカバーするように特徴づけることで、フォルティン作用素の必要性を回避し、安定性を証明する。
• マクロ要素技法と局所的発散性質に基づく構成的証明を活用して、離散インフラ・サブ条件を確立する。
• ストレステンソル空間が、対称 $H(\operatorname{div})$-$P_k$ テンソルの部分空間であることが示され、アーノルド＝ウィンター要素で用いられる高次 $P_{k+1}$ バブル関数の必要性が回避される。
• 標準ラグランジュ $P_k$ 有限要素の基底から直接導出することで、ストレステンソル空間の基底構成を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フォルティン作用素に依存しない、三角形グリッド上での線形弾性のための安定的混合有限要素法を構築することは可能か？
• RQ2 アーノルド＝ウィンター要素よりも単純なストレステンソル空間を用いて、ストレステンソルの $P_k$ 収束と位移の $P_{k-1}$ 収束を両方で最適化することは可能か？
• RQ3 近似能力を持たない高次バブル関数を回避することで、ストレステンソル空間の基底をより簡単に構成することは可能か？
• RQ4 提案手法は、既存の混合要素と比較して自由度を削減しながらも、最適収束率を維持するか？

主な発見

• 数値実験において、$k=3,4,5$ の場合にそれぞれ3次、4次、5次収束が確認され、ストレステンソルに $P_k$ 収束、位移に $P_{k-1}$ 収束が最適に達成された。
• $k=3$ の場合、$P_3$ 要素はすべてのノルムで3次収束を示し、理論的最適収束率が確認された。
• $P_4$ 要素はすべてのノルムで4次収束を示し、理論的予測と一致し、収束速度においてアーノルド＝ウィンター $P_3$ 要素を上回った。
• $P_5$ 要素は、ストレステンソルに関して $H(\operatorname{div})$ ノルムで5次収束、$L^2$ ノルムで6次収束を示し、理論的期待と一致した。
• 新規 $P_3$ 要素は、バブル関数の縮約後、アーノルド＝ウィンター $P_3$ 要素とほぼ同じ自由度を有しながらも、1次高い収束を達成した。
• 数値結果から、近似能力を持たない $P_{k+1}$-バブル関数を回避するため、提案手法がアーノルド＝ウィンター要素よりも計算的に単純かつ効率的であることが確認された。