[論文レビュー] A Family of ESDIRK Integration Methods

John Bagterp Jørgensen, Morten Kristensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、低～中程度の精度を要する剛性微分方程式および微分代数方程式に対して、1(2)、2(3)、3(4)次の明示的単一対角的陰的ルンゲ・クッタ（ESDIRK）法の族を提示する。これらの手法はA安定かつL安定であり、適応的ステップサイズ制御に用いられる埋め込み誤差推定器を備えており、離散的イベントを含むハイブリッド系への応用を可能にする連続的拡張も有する。

ABSTRACT

In this paper we derive and analyze the properties of explicit singly diagonal implicit Runge-Kutta (ESDIRK) integration methods. We discuss the principles for construction of Runge-Kutta methods with embedded methods of different order for error estimation and continuous extensions for discrete event location. These principles are used to derive a family of ESDIRK integration methods with error estimators and continuous-extensions. The orders of the advancing method (and error estimator) are 1(2), 2(3) and 3(4), respectively. These methods are suitable for obtaining low to medium accuracy solutions of systems of ordinary differential equations as well as index-1 differential algebraic equations. The continuous extensions facilitates solution of hybrid systems with discrete-events. Other ESDIRK methods due to Kværnø are equipped with continuous-extensions as well to make them applicable to hybrid systems with discrete events.

研究の動機と目的

• 剛性微分方程式（ODE）および指数1の微分代数方程式（DAE）に適したESDIRK積分法の族の開発を目的とする。
• 剛性問題の信頼性ある統合を実現するため、A安定およびL安定であり、剛性に正確な性質を持つ手法を保証すること。
• 主手法の1次高い次数の埋め込み手法を組み込むことで、信頼性の高い局所誤差推定を可能にする。
• 離散的イベントを含むハイブリッド系における解の高精度な適用を可能にするために、連続的拡張を備えること。
• 望ましい安定性および精度特性を有するESDIRK法の体系的構築フレームワークを提供すること。

提案手法

• 著者らは、バーサの代数的次数条件を用いてESDIRK法を導出し、A安定およびL安定性、および剛性に正確な段階を保証する。
• 主手法が次数$p$である埋め込み対を用いて手法を構築し、局所誤差推定が可能になる。
• 連続的拡張は主手法の次数と一致するように導出され、ハイブリッド系におけるイベント検出のための密な出力が可能になる。
• 各手法の最初の段階を直前のステップの最後の段階と等しくする（FSAL性質）ことで、有効な段階数を$s-1$に削減し、効率性を向上させる。
• バーサテーブルは次数条件を満たすように構築され、$eta$-安定性および剛性正確性条件を含む、安定性および精度の最適化を考慮した係数が用いられる。
• 安定性解析および次数条件の比較を通じて手法の妥当性を検証し、連続的拡張はベース手法と同一の次数を満たすことが確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A安定およびL安定性を満たしつつ剛性正確性を維持するため、ESDIRK法を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 剛性ODEおよびDAEに対するESDIRK法において、次数、安定性、計算コストの最適なバランスは何か？
• RQ3 連続的拡張をどのように設計すれば、ベース手法の次数を保ちつつ、離散的イベント検出を可能にするか？
• RQ4 埋め込み手法がA安定またはL安定でない場合、次数$p+1$の埋め込み手法による誤差推定が、ステップサイズ制御に与える影響は何か？
• RQ5 ディスコンティニュイティを伴う剛性系において、ESDIRK法の特性は、既存のDIRK法やBDF法と比較して、効率性および信頼性の面でどのように異なるか？

主な発見

• ESDIRK12、ESDIRK23、ESDIRK34手法はA安定かつL安定であり、剛性に正確で、次数$p+1$の埋め込み誤差推定器を備えており、信頼性のある適応的ステップサイズ制御が可能である。
• これらの手法の連続的拡張は、ベース手法と同一の次数であるため、ハイブリッド系における離散的イベント検出のための高精度な密な出力が可能である。
• ESDIRK43aおよびESDIRK32cは、現在のステップ区間外（$c_i > 1$）の求積点を有するため、一般使用には不適切とされ、信頼性が損なわれる。
• ESDIRK45cは、埋め込み手法の次数に不確実性があるため、ステップサイズ制御の挙動が予測不能となり、使用を見送られた。
• 残りの手法—ESDIRK54a、ESDIRK54b、ESDIRK32a、ESDIRK32b、およびESDIRK32c—は連続的拡張を備えており、剛性ODEおよび指数1のDAEの低～中程度の精度の解法に適している。