[論文レビュー] A family of functional inequalities: Lojasiewicz inequalities and displacement convex functions

Jérôme Bolte, Adrien Blanchet|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、モンゴメット＝カンタロヴィチ距離を備えた確率空間における位移凸関数に対する勾配型と関数型のŁojasiewicz不等式の同値性を確立する。λ-凸関数に対して、勾配型Łojasiewicz不等式が勾配流れの収束を示し、オットー＝ヴィラニの対数ソボレフ不等式とタラグランド不等式の同値性を回復する。さらに、べき乗型エントロピーに対して、ガリardo-Nirenberg不等式と非線形タラグランド不等式の新たな同値性を導出する。

ABSTRACT

For displacement convex functionals in the probability space equip\-ped with the Monge-Kantorovich metric we prove the equivalence between the gradient and functional type Łoja\-sie\-wicz inequalities. \chg{We also discuss the more general case of $λ$-convex functions and we provide a general convergence theorem for the corresponding gradient dynamics. Specialising our results to the Boltzmann entropy, we recover Otto-Villani's theorem asserting the equivalence between logarithmic Sobolev and Talagrand's inequalities. The choice of power-type entropies shows a new equivalence between Gagliardo-Nirenberg inequality and a nonlinear Talagrand inequality. Some nonconvex results and other types of equivalences are discussed.

研究の動機と目的

• 確率測度空間におけるŁojasiewicz不等式と勾配流れを結びつける体系的枠組みを構築すること。
• λ-凸関数に対して、勾配型と関数型のŁojアシェヴィッチ不等式の同値性を証明すること。
• 既知の関数不等式の同値性（例：対数ソボレフ不等式とタラグランド不等式）を一般枠組みの特殊ケースとして回復すること。
• べき乗型エントロピーを用いることで、ガリardo-Nirenberg不等式と非線形タラグランド不等式の間の新たな同値性を同定すること。
• 最適輸送設定において、Łojasiewicz型条件の下で勾配ダイナミクスの一般収束定理を提供すること。

提案手法

• 確率測度空間における2種類のŁojasiewicz不等式を導入する：1つはエネルギー増加とモンゴメット＝カンタロヴィチ距離の関係（関数型）、もう1つはエネルギー値とその勾配の関係（勾配型）。
• モンゴメット＝カンタロヴィチ距離の下での確率空間のリーマン構造を用いて、距離微分、劣微分、勾配を厳密に定義する。
• 一般化された測地線に沿ったλ-凸性の概念を用い、ワッサーゲン空間における関数の挙動とその劣微分の性質を特徴付ける。
• 縮小劣微分と最小ノルム劣勾配を用いて、距離勾配と勾配流れダイナミクスを定義・分析する。
• ボルツマンエントロピーおよびべき乗型エントロピーに特化することで、抽象的なŁojasiewicz不等式を具体的な関数不等式に翻訳する。
• Łojasiewicz不等式の同値性を用いて、特に均衡点が連続的集合を形成する場合に勾配流れの収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位移凸関数に対して、勾配型と関数型のŁojasiewicz不等式がどのような条件下で同値となるか？
• RQ2 Łojasiewicz不等式を用いて、ワッサーゲン空間における勾配流れの収束速度をどのように導出できるか？
• RQ3 この枠組みをボルツマンエントロピーに特化した場合に、どのような関数不等式の同値性が生じるか？
• RQ4 べき乗型エントロピーを考慮することで、新たな関数不等式の同値性を導出できるか？
• RQ5 非凸設定において、タラグランド型と対数ソボレフ型不等式の間で逆の含意はどの程度成立するか？

主な発見

• 勾配型Łojasiewicz不等式は、勾配流れの有限長軌道を示し、最小化子への収束を保証する。
• λ-凸関数に対して、勾配型と関数型のŁojasiewicz不等式は同値であり、収束解析の統一的枠組みを提供する。
• ボルツマンエントロピーに特化すると、オットー＝ヴィラニの定理が回復され、対数ソボレフ不等式とタラグランド不等式の同値性が確立される。
• べき乗型エントロピーに対しては、本フレームワークにより、ガリardo-Nirenberg不等式と非線形タラグランド型不等式の間の新たな同値性が得られる。
• 有界なL∞変動を持つ凸ポテンシャルに対して、タラグランドから対数ソボレフ不等式への逆含意が成立し、新たな証明により示される。
• 最小化子が複数存在する場合でさえ、Łojasiewicz型条件の下で勾配ダイナミクスの一般収束定理が確立される。