[論文レビュー] A Family of Generalized Beta Distributions for Income

Jungsywan H. Sepanski, Lingji Kong|ArXiv.org|Oct 25, 2007

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、米国家族収入データのモデリングに、一般化されたベータ分布族（対数F、スケーリングt、ベータ・ワイブル、ベータ指数分布）を用い、米国国勢調査局のグループ化されたデータに対して最尤推定を適用して評価している。対数F分布と第二種一般化ベータ分布（GB2）が最も良好な適合を示し、カイ二乗検定および絶対誤差指標においても他の分布を上回っている。一方、偏りのある収入データに対して対称的尾部を仮定するベータ正規分布は、最も悪い適合を示している。

ABSTRACT

The mathematical properties of a family of generalized beta distribution, including beta-normal, skewed-t, log-F, beta-exponential, beta-Weibull distributions have recently been studied in several publications. This paper applies these distributions to the modeling of the size distribution of income and computes the maximum likelihood estimation estimates of parameters. Their performances are compared to the widely used generalized beta distributions of the first and second types in terms of measures of goodness of fit.

研究の動機と目的

• 米国家族収入の規模分布をモデリングするための一般化ベータ分布族の性能を評価すること。
• GB1やGB2といった広く用いられるモデルと比較し、適合度指標を用いてこれらの分布を評価すること。
• 米国国勢調査局のグループ化された収入データに対して最尤推定を適用すること。
• 対数F、スケーリングt、ベータ正規分布などの分布が収入モデリングにおいて数学的取り扱いのしやすさと適合度の両面でどの程度優れているかを評価すること。
• 2003年から2005年の収入格差パターンを最も正確に再現できる分布を特定すること。

提案手法

• 一般化ベータ-F分布は、ベータ分布に従う確率変数を累積分布関数 F(x) を用いて変換することで定義され、密度関数は g_F(x) = [B(α,β)]⁻¹ f(x)[F(x)]^(α−1)[1−F(x)]^(β−1) で与えられる。
• グループ化された収入データに対して最尤推定を適用し、最初のグループの下限で累積分布関数の値を0、最後のグループの上限で1に設定する。
• 尤度方程式に対して閉形式解が存在しないため、反復的数値最適化を用いてパラメータ推定を行う。
• 適合度は、二乗誤差の和（SSE）、絶対偏差の和（SAE）、カイ二乗統計量を用いて評価する。
• 本研究では、2003年から2005年の米国国勢調査局のデータを用い、収入を区間ごとにグループ化し、各グループの平均と頻度を用いて相対度数を近似する。
• 対数F分布とGB2分布は、Jones（2004）が示唆するように、そのパワーと指数的尾部の性質から、特に適した分布であると判明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2003年から2005年の米国家族収入データに対して、SSE、SAE、カイ二乗統計量の観点から、どの一般化ベータ-F分布が最も良好な適合を示すか？
• RQ2 偏った収入データの適合において、対数F分布は第二種一般化ベータ分布（GB2）および他の同族分布と比較して、どの程度優れているか？
• RQ3 形状の柔軟性に優れるにもかかわらず、なぜベータ正規分布は性能が著しく劣るのか？また、その対称的尾部仮定が偏った収入分布への適合にどのように悪影響を及えるのか？
• RQ4 スケーリングt分布および対数F分布の4パラメータ拡張形は、2パラメータ版と比較して、どの程度適合度が向上するか？
• RQ5 一般化ベータ-Fフレームワークは、GB1、GB2、Singh-Maddalaといった既存の収入分布モデルを統合的かつ拡張的に扱うのに有効であるか？

主な発見

• 対数F分布が全体として最も良好な適合を示し、2005年のカイ二乗統計量（1525.312）とSAE（0.105）が、テストされたすべての分布の中で最小であった。
• 第二種一般化ベータ分布（GB2）が2番目に優れた性能を示し、2005年のSSE（0.429）が最小であり、SAEおよびカイ二乗統計量においても競争力のある値であった。
• ベータ正規分布は最も悪い適合を示し、2005年のSSE（9.002×10⁴）とSAE（0.364）が非常に高かった。これは、偏った収入データに対して対称的尾部を仮定するという点に起因する。
• 2パラメータのスケーリングt分布は、他の多くの分布よりもSSEおよびSAEが高く、2番目に悪い順位であったが、ベータ正規分布よりは優れていた。
• ベータ指数分布およびベータ・ワイブル分布は、すべての適合度指標においてGB1を上回る適合を示し、より優れた柔軟性を示している。
• 2005年の推定平均収入は7.040（1万ドル単位）であり、対数F分布およびGB2分布は、この観察値に最も近い推定平均値を生成した。