[論文レビュー] A family of inversion formulas in Thermoacoustic Tomography

Linh V. Nguyen|ArXiv.org|Feb 15, 2009

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一定音速を仮定した熱音響トモグラフィー（TAT）における、時間領域および周波数領域の両方の定式化に適用可能な、一様な閉形式の逆問題公式の族を提示する。ハンケル関数と相互作用作用素を用いることで、フィルタドバックプロジェクション型公式の一般化と統合がなされ、フィンチ、パッチ、ラクシュ、クヌヤンスキー、シュウ＝ワンの公式を含む既存の結果が統一され、次元およびデータタイプにわたるそれらの等価性に関する曖昧さが解消される。

ABSTRACT

We present a family of closed form inversion formulas in thermoacoustic tomography in the case of a constant sound speed. The formulas are presented in both time-domain and frequency-domain versions. As special cases, they imply most of the previously known filtered backprojection type formulas.

研究の動機と目的

• 熱音響トモグラフィーにおける、既に導出された逆問題公式の間の等価性および関係性について未解決の問いを解消すること。
• 特にフィンチ＝パッチ＝ラクシュ、クヌヤンスキー、シュウ＝ワンの公式を含む、既存の閉形式の逆問題公式を、一つの整合的な枠組みに統合すること。
• 奇数次元および偶数次元の両方、および有限時間データ再構成を含む、逆問題公式の適用範囲を拡張すること。
• フーリエ変換およびハンケル変換を用いて、時間領域と周波数領域の逆問題公式の間の関係を確立すること。
• ディリクレ型境界データに限られていた先行研究を拡張し、ノイマン型境界データ（圧力の法線微分）からも逆問題公式を導出すること。

提案手法

• 熱音響データの偶関数拡張のフーリエ変換、$\hat{g}_0(y,\lambda)$ を周波数領域で用いて、逆問題公式の族を導出する。
• ハンケル関数の第一種 $H^{(1)}_{\frac{n-2}{2}}$ を用いて、核関数 $G(s,\lambda) = \frac{i}{4}\left(\frac{\lambda}{2\pi s}\right)^{\frac{n-2}{2}}H^{(1)}_{\frac{n-2}{2}}(\lambda s)$ を定義する。
• 波動方程式をダーブォックス方程式に写像する相互作用作用素 $\mathcal{W}$ を導入し、球面平均作用素への変換を可能にする。
• 測定データと初期圧力分布の関係を表すために、球面ラドン変換 $\mathcal{R}_S$ および球面平均作用素 $\mathcal{M}_S$ を用いる。
• 核関数 $K(x,z,\lambda)$ の対称性および $\mathcal{W}$ とその随伴作用素 $\mathcal{W}^*$ 間の双対性を用いて、逆問題恒等式を導出する。
• 部分積分およびフーリエ・ベッセル変換の逆変換技術を用い、データ $g$ から初期関数 $f(x)$ を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元における熱音響トモグラフィーの有限時間型と無限時間型の逆問題公式の間にはどのような関係があるか？
• RQ2 クヌヤンスキーおよびシュウ＝ワンの公式といった既存の逆問題公式は、どのように一つの数学的枠組みに統合できるか？
• RQ3 同じ公式族が、ディリクレ型データに加えてノイマン型境界データ（圧力の法線微分）からも $f(x)$ を回復できるか？
• RQ4 ハンケル関数および相互作用作用素 $\mathcal{W}$ は、すべての次元にわたる一様な逆問題公式の構築において、どのように機能するか？
• RQ5 $\mathcal{W}\frac{d}{ds}\mathcal{W}^*$ が恒等作用素に等しくなる条件は何か？ そして、これは逆問題にどのように関係するか？

主な発見

• 提案された逆問題公式の族は、フィンチ、パッチ、ラクシュ（奇数次元）、クヌヤンスキー（すべての次元）、シュウ＝ワン（$n=3$）の公式を含む、既に知られているすべてのフィルタドバックプロジェクション型公式を特別な場合として含む。
• 偶数次元では、適切な条件下で、フィンチ、ハルトマイヤー、ラクシュの無限時間型公式と等価な有限時間型逆問題公式が得られる。
• 核関数 $G(s,\lambda)$ により、すべての次元 $n \geq 2$ に対して逆問題公式が有効であることが保証され、偶数次元では $s=0$ での対数特異性を除き $C^\infty$、奇数次元では $C^\infty$ の滑らかさを示す。
• 相互作用作用素 $\mathcal{W}$ は、2階微分をベッセル型作用素に変換し、球面平均およびフーリエ・ベッセル変換を用いた逆問題公式の導出を可能にする。
• 核関数 $K(x,z,\lambda)$ の対称性により、$\int_{\mathbb{R}} K(x,z,\lambda) d\lambda = \int_{\mathbb{R}} K(z,x,\lambda) d\lambda$ が成り立ち、これが逆問題で用いられる双対性の根拠となる。
• ノイマンデータに対する逆問題公式が導出された：$f(x) = 2\int_S \mathcal{W}(\partial_{\nu_y}u)(y, |x-y|) d\sigma(y)$。これは、一般の $n$ およびノイマン型測定にまで、先行研究を拡張する。