[論文レビュー] A family of non-collapsed steady Ricci solitons in even dimensions greater or equal to four

Alexander Appleton|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、複素射影直線 ℂP¹ 上の複素線束における U(2)-不変計量を用い、正の曲率を持つケーラー＝アインシュタイン多様体上の線束へ一般化することで、4以上の偶数次元において非収縮・非ケーラー型・定常勾配リッチソリトンの新しい族を構成する。主な結果は、ブルヤントソリトンの商空間に漸近する非収縮ソリトンの存在であり、完全性およびペレラマンの基準による非収縮性を保証する明示的な常微分方程式系と境界条件が得られている。

ABSTRACT

We construct a family of non-collapsed, non-Kähler, non-Einstein steady Ricci solitons in even dimensions greater or equal to four. These solitons exist on complex line bundles over Kähler-Einstein manifolds of positive scalar curvature. They include a four-dimensional $U(2)$-invariant, non-collapsed Riemannian steady soliton on each of the line bundles $O(k)$, $k>2$ of $\mathbb{C}P^1$. Finally, we find Taub-Nut like Ricci solitons and demonstrate a new proof for the existence of the Bryant soliton.

研究の動機と目的

• リッチフローの既知の特異点モデルにおける空白を埋めるために、4以上の偶数次元における非収縮定常リッチソリトンの新しい例を構成すること。
• ケーラー型および収縮型のケースを越えて、とくに4次元においてはこれまでに数例しか知られていなかった非収縮例を拡張すること。
• 正のスカラー曲率を持つケーラー＝アインシュタイン多様体上の線束に、バンドル次数が十分に大きい場合には非収縮ソリトンが得られることを示すこと。
• 同じ枠組みを用いてブルヤントソリトンの新しい導出とタブ・ナット型ソリトンの構成を行うこと。
• 臨界境界条件を課した常微分方程式解析により、完全性および非収縮性を保証する存在性の確立。

提案手法

• 4次元では U(2)-不変性を仮定し、より高い偶数次元では U(n)-不変性を仮定することで、リッチソリトン方程式を常微分方程式系に簡約する。
• 変数変換 r = a² を導入し、(F, h, b, B) における1階常微分方程式系に変換する。ここで F = ˙f、h = g_{ss}、b = g_{θθ}、B = ˙b である。
• 複素解析および主要級数技法を用いて、常微分方程式系の形式的冪級数解の収束を証明し、パrameter c = ˙f(0) に関する局所解析性を保証する。
• 正則な正則特異点をもつ特異常微分方程式の収束定理の条件を検証するために、線形化作用素の逆 (mI - ∂P/∂u)⁻¹ を用いる。
• r = 0 における臨界境界条件を課す：b(0) = 1、˙b(0) = (n+1)/(2a₀²)、h(0) = a₀²、f(0) = 0、˙f(0) = c であり、c は特異性を回避し非収縮性を保証するように選ばれる。
• 曲率および体積成長がペレラマンの κ-非収縮条件を満たすことを検証することで、得られたソリトンが非収縮であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー型および収縮型のケースを除き、4以上の偶数次元において非収縮定常リッチソリトンを構成できるか？
• RQ2 4次元において、複素射影直線 ℂP¹ 上の線束 O(−k) に対する U(2)-不変計量が、k ≥ 3 のとき非収縮定常ソリトンをもたらすか？
• RQ3 この方法を、正のスカラー曲率を持つ任意のケーラー＝アインシュタイン多様体上の複素線束へ一般化し、非収縮定常ソリトンを構成できるか？
• RQ4 常微分方程式系にどのような境界条件を課すと、得られるソリトンの完全性および非収縮性が保証されるか？
• RQ5 同じ枠組みにより、新しいタブ・ナット型ソリトンの例とブルヤントソリトンの新たな導出が得られるか？

主な発見

• 4次元において、k ≥ 3 のとき、複素射影直線 ℂP¹ 上の線束 O(−k) の全空間に、完全で非収縮の定常勾配リッチソリトンの1パラメータ族が存在する。
• これらのソリトンは、k ≥ 3 のとき、4次元ブルヤントソリトンを ℤk で割った商空間に漸近する。底面の多様体は、原点に S² を加えた ℝ>0 × S³/ℤk の完備化と微分同相である。
• 一般に 2n+2 ≥ 4 の偶数次元において、k ≥ n+1 のとき、ℂPⁿ 上の O(−k) に非収縮定常ソリトンが存在し、4次元の構成を一般化する。
• パrameter依存性の解析的性質と有界な逆線形化により、ソリトン方程式の常微分方程式系が収束する形式的冪級数解を持つことが保証され、局所的存在性が得られる。
• 本構成により、これまでに知られていた例とは異なる、4以上の偶数次元における新しい1パラメータ族のタブ・ナット型リッチソリトンが得られる。
• 同様の手法を ℝ²ⁿ 上の U(n)-不変計量に適用することで、ブルヤントソリトンの代替的導出が得られ、常微分方程式解析によるその存在性が裏付けられる。