[論文レビュー] A Family of Norms With Applications In Quantum Information Theory II

Nathaniel Johnston, David W. Kribs|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、量子もつれに関連する演算子ノルムのクラスを正確に計算したり、上界を求めるための半定型計画法（SDP）の族を開発する。特に、$k$-正性および蒸留可能性（distillability）の文脈において関連する。主な貢献は、非正の部分転置（NPPT）Werner状態が任意の $r$ に対して $r$-蒸留不能であることを示す、新たな構成的証明であり、半定型計画法の双対性を用いて長年の量子情報理論の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We consider the problem of computing the family of operator norms recently introduced in arXiv:0909.3907. We develop a family of semidefinite programs that can be used to exactly compute them in small dimensions and bound them in general. Some theoretical consequences follow from the duality theory of semidefinite programming, including a new constructive proof that there are non-positive partial transpose Werner states that are r-undistillable for arbitrary r. Several examples are considered via a MATLAB implementation of the semidefinite program, including the case of Werner states and randomly generated states via the Bures measure, and approximate distributions of the norms are provided. We extend these norms to arbitrary convex mapping cones and explore their implications with positive partial transpose states.

研究の動機と目的

• 量子もつれ理論で用いられる演算子ノルムの族の計算および境界付けのためのアルゴリズム的手法を開発すること。
• 量子情報における線形写像の $k$-もつれのための見出し（witnesses）および $k$-正性を特定する問題に取り組むこと。
• 任意の $r$ に対して $r$-蒸留不能な NPPT Werner 状態の存在を、構成的証明により示すことにより、重要な未解決問題を解決すること。
• ノルムを凸写像コーンに拡張し、PPT状態におけるその影響を分析すること。
• これらのノルムが射影にどのように作用するかを調査し、正則化相対エントロピーもつれの予想との関係を検討すること。

提案手法

• 著者らは、小次元では演算子ノルムを正確に計算し、一般次元では上界を与える半定型計画法（SDP）の族を定式化する。
• 半定型計画法における双対性理論を活用し、特に NPPT Werner 状態における $r$-蒸留不能性の新たな構成的証明を含む理論的結果を導出する。
• SDP は MATLAB で実装され、Werner 状態および Bures 測度による乱数生成状態のノルムを数値的に計算する。
• ノルムは任意の凸写像コーンに一般化され、PPT 状態やもつれのための見出しとの関係を分析可能になる。
• 線形写像とその Choi 行列との間の Choi-Jamiolkowski 同型を用い、状態の Schmidt 系数と演算子ノルムとの関係を結びつける。
• Dvoretzky の定理の実用的バージョンを適用し、ノルムの上界をランクと次元に基づいて評価し、普遍定数を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 文献[1]で導入された演算子ノルムの族は、アルゴリズム的手法を用いて効率的に計算または境界づけることができるか？
• RQ2 任意の $r$ に対して $r$-蒸留不能である非正の部分転置（NPPT）Werner 状態は存在するか？
• RQ3 これらのノルムは射影上でどのように振る舞い、正則化相対エントロピーもつれの予想を評価するために使用できるか？
• RQ4 状態の Schmidt 数と対応する線形写像の $k$-正性との関係は何か？
• RQ5 ノルムは任意の凸写像コーンに拡張可能か？その結果、PPT 状態やもつれ検出にどのような影響を及えるか？

主な発見

• 半定型計画法における双対性を用いて、任意の $r$ に対して $r$-蒸留不能な NPPT Werner 状態が存在することを示す、新たな構成的証明が提示される。
• 開発された半定型計画法により、小次元ではノルムを正確に計算でき、一般次元では上界が得られる。
• ${\mathrm{rank}}(P) \leq kn$ を満たす直交射影 $P$ に対して、ノルム $\|P\|_{S(k)}$ は $\frac{k}{n}$ から $C\frac{k}{n}$ の間で有界であり、$C$ は $n$ と $k$ に依存しない普遍定数である。
• MATLAB 実装を用いて、Bures 測度による Werner 状態および乱数生成状態のノルムの近似分布を数値的に計算する。
• 結果として、Brandao の予想における不等式 (6) は $n \to \infty$ において $\mathrm{rank}(P) \approx n$ のとき一般には成り立たないことが示され、正則化相対エントロピーもつれが一般には超加法的でないことが示唆される。
• 射影におけるノルムの振る舞いから、$\|P\|_{S(1)} \geq \sqrt{\mathrm{rank}(P)/(n^{2+\varepsilon})}$ という予想は $\varepsilon < 1$ のとき漸近的に成立しないが、固定された有限 $n$ では成立する。