[論文レビュー] A family of ovoids in PG(3, 2^m) from cyclic codes

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、GF(2^m) 上の非可約巡回符号を用いて、PG(3, 2^m) における新しい型の放物型（ovoid）の族を構成し、それらの符号がパラメータ [q²+1, 4, q²−q] を持ち、放物型符号と同一の重み分布を有することを証明している。主な貢献は、楕円的二次曲面やティーツ放物型と同値でない、偶数特徴を持つ新たな無限族の放物型を提供し、有限射影空間における放物型の既知の分類を拡張したことにある。

ABSTRACT

Ovoids in $\PG(3, q)$ have been an interesting topic in coding theory, combinatorics, and finite geometry for a long time. So far only two families are known. The first is the elliptic quadratics and the second is the Tits ovoids. In this article, we present a family of ovoids in $\PG(3, 2^m)$ for all $m$ which are from a family of irreducible cyclic codes.

研究の動機と目的

• 代数的符号理論を用いて、PG(3, 2^m) における新しい放物型の族を構成すること。
• GF(2^m) 上の非可約巡回符号と射影幾何学における放物型との間の関係を確立すること。
• 特定の巡回符号の生成行列の列ベクトルが、PG(3, 2^m) における放物型を形成することを証明すること。
• これらの新しい放物型が、既知の族（楕円的二次曲面やティーツ放物型）と同値であるかどうかを調査すること。
• これらの放物型から導かれる符号の設計的性質を調査すること。

提案手法

• 本稿は、q = 2^s、r = q^4、N = q^2−1 とおくとき、GF(q) 上の非可約巡回符号 C(r,N) の族を定義する。
• β ∈ GF(r) に対して、(Tr_{r/q}(β), Tr_{r/q}(βθ), ..., Tr_{r/q}(βθ^{n−1})) の形の符号語を、Tr_{r/q} を用いて構成する。ここで θ = α^N であり、α は GF(r) の原始元である。
• ガウス和と指標和を用いて符号の重み分布を計算し、特に Tr_{r/q}(a x^N) = 0 を満たす解の個数を分析する。
• 巡回的クラスと多重集合の等式に関する補題4を適用し、指数和のゼロ点の個数を計算することで、符号語のハミング重みを特定する。
• 証明により、符号が正確に2つの非ゼロ重み q²−q および q² を持ち、それぞれ指定された重複度を持つことが示され、これが放物型符号であることを確認する。
• Plessのパワーモーメントおよび双対性に関する理論的結果を用いて、重み生成関数を検証し、符号が [q²+1, 4, q²−q] 符号であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GF(2^m) 上の非可約巡回符号から、PG(3, 2^m) における新しい放物型の族を構成できるか？
• RQ2 パラメータ [q²+1, 4, q²−q] を持つ巡回符号 C(r,N) から得られる放物型は、既知の楕円的二次曲面やティーツ放物型と同値か？
• RQ3 これらの放物型から導かれる符号が、既知の放物型に基づく設計と一致するパラメータの 3-デザインを生成するか？
• RQ4 構成された巡回符号の双対符号の重み分布は何か？
• RQ5 符号語の重み q²−q を持つサポートが生成する 3-デザインは、楕円的二次曲面やティーツ放物型から得られるものと同値か？

主な発見

• q = 2^s、r = q^4、N = q^2−1 とおくとき、GF(q) 上の符号 C(r,N) はパラメータ [q²+1, 4, q²−q] を持ち、重み生成関数 1 + (q²−q)(q²+1)z^{q²−q} + (q−1)(q²+1)z^{q²} を持つ。
• C(r,N) の生成行列の列ベクトルは、PG(3, 2^m) における放物型を形成する。なぜなら、それらは q²+1 個の点から構成され、どの3点も同一直線上に存在しないからである。
• C(r,N) の双対符号は [q²+1, q²−3, 4] 符号であり、これはほぼMDSであり、Griesmerの上限を満たすことを確認する。
• C(r,N) の重み q²−q を持つ符号語のサポートは、3-(q²+1, q²−q, (q−2)(q²−q−1)) デザインを形成する。
• このデザインの補集合は、3-(q²+1, q+1, 1) ステイナー系、すなわち逆射平面を形成する。
• 双対符号の重み4の符号語のサポートは、3-(q²+1, 4, q−2) デザインを形成する。これにより、符号が 3-デザインを保持していることが確認される。