[論文レビュー] A Family of Reversible BCH Codes

Shuxing Li, Cunsheng Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、逆可換Bose-Chaudhuri-Hocquenghem（BCH）符号の族、特に逆可換BCH符号の偶数類部分符号 $̄{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ を研究する。$̄{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ の小規模な $̄$ に対して正確な次元と最小距離を導出し、より大きな $̄$ については境界を確立する。さらに、$̄ = q^\lambda - 1$ かつ $1 \leq \lambda \leq \lfloor m/2 \rfloor$ の場合、最小距離が正確に $2\delta$ であることを証明し、二進および三進の場合の予想を確認する。多くの場合、これらの符号は最適または近似的に最適なパラメータを達成する。

ABSTRACT

Cyclic codes are an interesting class of linear codes due to their efficient encoding and decoding algorithms as well as their theoretical importance. BCH codes form a subclass of cyclic codes and are very important in both theory and practice as they have good error-correcting capability and are widely used in communication systems, storage devices and consumer electronics. However, the dimension and minimum distance of BCH codes are not known in general. The objective of this paper is to study the dimension and minimum distance of a family of BCH codes over finite fields, i.e., a class of reversible BCH codes.

研究の動機と目的

• 逆可換BCH符号の族、特に偶数類部分符号 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ の次元と最小距離を特定すること。
• 様々な $q$ と $m$ の条件下で、$̄ = 2, 3, 4$ などの小規模な $̄$ の $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ のパラメータを調査すること。
• $\delta = q^\lambda$ で $\frac{m}{2} \leq \lambda \leq m-1$ の場合に、次元と最小距離の境界を確立し、小規模な $̄$ を超える結果を拡張すること。
• 既知の最良の循環符号と比較することで、これらの符号の最適性を検討すること。特に二進および三進の場合に注目する。

提案手法

• 本稿では、$q$-巡回コセットとコセットリーダーを用いて、生成多項式 $\overline{g}_{(q,m,\delta)}(x) = (x-1)\tilde{g}_{(q,m,\delta)}(x)$ の構造を分析する。ここで $\tilde{g}_{(q,m,\delta)}(x)$ は、インデックス $1$ から $\delta-1$ および $n-\delta+1$ から $n-1$ までの最小多項式のLCMである。
• BCH境界を適用して最小距離の下界を導出し、特に $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ に対して、球詰め境界を用いて推定値を精緻化する。
• 生成多項式の次数を用いて次元を計算し、特に定理4および系9を活用して、LCMに含まれる異なる最小多項式の数に関する既知の結果を応用する。
• 特定のケース、例えば $\delta = 2$、$\delta = 3$、$\delta = 4$ の場合、代数的数論および有限体の性質を用いて正確なパラメータを導出する。
• 数値実験と例を用いて、$\delta = q^\lambda - 1$ の場合に $d = 2\delta$ であるという予想を支持し、明示的な構成により検証する。
• 既知の最良の循環符号の表と比較することで、$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ のパラメータの最適性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小規模な $\delta$、例えば $\delta = 2, 3, 4$ の場合に、偶数類部分符号 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ の正確な次元は何か？
• RQ2 $\delta = q^\lambda - 1$ で $1 \leq \lambda \leq \lfloor m/2 \rfloor$ の場合に、$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ の最小距離は何か？
• RQ3 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ が最小距離 $2\delta$ を達成する条件は何か？また、最小距離が $\delta$ よりも厳密に大きい場合はどのような場合か？
• RQ4 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ のパラメータは、既知の最良の循環符号と比べてどうなるか？特に二進および三進の場合に注目する。
• RQ5 $m$ が奇数のとき、$\overline{{\mathcal{C}}}_{(3,m,4)}$ の最小距離が正確に 8 であるという予想は正しいか？

主な発見

• 奇数の $q$ および $m \geq 2$ の場合、符号 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,2)}$ はパラメータ $[q^m - 1, q^m - 2 - 2m, 4]$ を持ち、最小距離は正確に 4 である。
• $q = 2$ および $m \geq 4$ の場合、$\overline{{\mathcal{C}}}_{(2,m,3)}$ はパラメータ $[2^m - 1, 2^m - 2 - 2m, 6]$ を持ち、最小距離は 6 を達成する。
• $q^m \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $m \geq 4$ の場合、$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,3)}$ はパラメータ $[q^m - 1, q^m - 2 - 4m, 6]$ を持ち、最小距離は 6 である。
• $q = 3$ および $m \geq 3$ の場合、$\overline{{\mathcal{C}}}_{(3,m,4)}$ の次元は $3^m - 2 - 4m$ であり、$m$ が偶数の場合は最小距離が正確に 8、$m$ が奇数の場合は最小距離が少なくとも 8 である。
• $\delta = q^\lambda - 1$ かつ $1 \leq \lambda \leq \lfloor m/2 \rfloor$ の場合に $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$ の最小距離が $2\delta$ であるという予想は、数値的証拠により支持され、二進および三進の場合に証明されている。
• 二進の逆可換BCH符号 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(2,m,\delta)}$ は、多くのテストケース（$m = 4,5,6$ で $\delta = 3,5,7,9,11,13$）において最適または既知の最良の循環符号に該当する。