[論文レビュー] A family of simple weight modules over the Virasoro algebra

Rencai Lü, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、導来代数 $χ[t]\frac{d}{dt}$ の単純加群から誘導することで、Virasoro代数上の新しい単純重み加群の族を構成し、以前の構成を一般化している。単純性および同型性の必要十分条件を提示し、これらの加群が既存の最高重み加群および中間系列加群のテンソル積の部分加群と同型でないことを証明している。

ABSTRACT

Using simple modules over the derivation Lie algebra $C[t]\frac{d}{d t}$ of the associative polynomial algebra $C[t]$, we construct new weight Virasoro modules with all weight spaces infinite dimensional. We determine necessary and sufficient conditions for these new weight Virasoro modules to be simple, and determine necessary and sufficient conditions for two such weight Virasoro modules to be isomorphic. If such a weight Virasoro module is not simple, we obtain all its submodules. In particular, we completely determine the simplicity and the isomorphism classes of the weight modules defined in [C. Conley, C. Martin; A family of irreducible representations of the Witt Lie algebra with infinite-dimensional weight spaces. Compos. Math., 128(2), 153-175(2001)] which are a small portion of the modules constructed in this paper.

研究の動機と目的

• Virasoro代数上の新しい単純重み加群の族を構成し、すべての重み空間が無限次元となるようにする。
• 以前の構成、特に [CM] や [LLZ] のものも含めた特殊ケースとして、それらを一般化・統一する。
• このような加群が単純であるための必要十分条件、および2つの加群が同型であるための必要十分条件を特定する。
• 構成された加群が、最高重み加群および中間系列加群のテンソル積の任意の単純部分加群と同型でないことを証明する。
• 加群が単純でない場合のすべての部分加群を分類し、完全な構造的記述を提供する。

提案手法

• $W$ を $\mathfrak{W}$-加群の圏 $\mathcal{O}_{\mathfrak{W}}$ に属する単純加群とするとき、Virasoro加群 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b) = W \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$ を構成する。ここで $\mathcal{O}_{\mathfrak{W}}$ は、有限性条件を満たす $\mathfrak{W}$-加群の圏である。
• Witt代数 $\mathfrak{W} = \operatorname{Der}(\mathbb{C}[t])$ 及びその部分代数 $\mathfrak{b} = \operatorname{span}\{d_i \mid i \geq 0\}$、$\mathfrak{V}^{(r)}$ の構造を用いて、誘導によって加群を定義する。
• 構造的解析と同型型の特定に強力な技術的道具を用いる：重み空間間の同型写像 $\varphi_n$ を定義し、加群構造と同型型を分析する。
• 加群を既存のものと区別するために、演算子 $X_{l,m} = d_{l-m-3}d_{m+3} - 3d_{l-m-2}d_{m+2} + 3d_{l-m-1}d_{m+1} - d_{l-m}d_m$ を用いる。
• 重みベクトルへの $X_{l,m}$ の作用を分析し、特定の $\lambda \neq 1$ に対して非ゼロであることを示し、テンソル積加群とは同型でないことを証明する。
• 加群 $\mathcal{O}_{\mathfrak{b}}$ 及び $\mathcal{O}_{\mathfrak{W}}$ における単純加群の分類に、$\mathfrak{b}$-加群におけるベクトルのソクルおよび順序を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構成された重み加群 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ が単純であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 2つの加群 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ と $\mathcal{L}(W',\lambda',a',b')$ が同型であるのはいつか？
• RQ3 非単純な $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 加群の部分加群はどのような構造を持ち、完全に分類可能か？
• RQ4 構成された加群は新しいものか、すなわち最高重み加群および中間系列加群のテンソル積の任意の単純部分加群と同型でないか？
• RQ5 [CM] や [LLZ] の加群は、一般族 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ とどのように関係しているか？

主な発見

• 加群 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ は、$\lambda \neq 1$ かつ $a$, $b$ および $W$ の $\mathfrak{b}$-加群構造に関する特定の条件を満たすときかつそのときに限り単純である。
• 2つの単純加群 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ と $\mathcal{L}(W',\lambda',a',b')$ が同型であるための必要十分条件は、$\lambda = \lambda'$, $a = a'$, $b = b'$, および $W \cong W'$ が $\mathfrak{W}$-加群として同型であることである。
• $\lambda = 1$ のとき、加群 $\mathcal{L}(W,1,a,b)$ は単純でなく、そのすべての部分加群は $W$ の構造および $\mathfrak{b}$ の作用によって完全に特定される。
• $W$ が特定の最高重み $\mathfrak{W}$-加群であるとき、加群 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ は [CM] のすべての加群を特殊ケースとして含む。
• 演算子 $X_{l,m}$ が重みベクトルに非ゼロ作用することを示し、$V(\dot{c},h) \otimes A'_{a_1,b_1}$ の任意の単純部分加群とは同型でないことが証明された。
• $\lambda \neq 1$ のとき、演算子 $X_{l,m}$ は $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ の重みベクトルに非自明に作用するが、テンソル積加群のベクトルでは消えるため、非同型性が証明される。