[論文レビュー] A family of Solutions of the N-Body Problem

Óscar Perdomo|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Spacecraft Dynamics and Control被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1つの中心質量 $m_1$ が固定された直線上を運動し、残りの $n-1$ 個の等質量の物体 $m_2$ が対称的に周囲を回る、n体問題の明示的で周期的な解の族を提示する。系を半径距離に関する2階常微分方程式に簡約することで、負の全エネルギーと非ゼロの角運動量が、有界で衝突のない運動を保証することを証明し、四則積分を用いて明示的解を構成した。$n=3$ から $6$ に対して無限個の周期的軌道が存在することを示した。結果は、対称的質量配置を持つ一般の $n$-体系へと拡張可能である。

ABSTRACT

In this paper we characterize all the solutions of the three body problem on which one body with mass $m_1$ remains in a fixed line and the other two bodies have the same mass $m_2$. We show that all the solutions with negative total energy (potential plus kinetic), never collide. "Explicit" solutions of the motion of all the three bodies are given in term of just one solution of an ordinary differential equation of order two of one real value function. We show that the solutions of a big subfamily of this family remains bounded for all time. The same results are shown for the n-body problem. When the body on the line remains constant, we have provide exact formulas for the solutions --for any n-- in the same way as we have for the two body problem. Once we have shown that there are infinitely many periodic solutions, we provide several examples of periodic examples for the 3-Body, 4-Body, 5-Body and 6-Body problem. This is a first version. Comments and suggestions for references are welcome. A YouTube video explaining one of this solutions has been posted on http://youtu.be/2Wpv6vpOxXk

研究の動機と目的

• 1つの質量 $m_1$ が固定された直線上を運動し、残り2体が等質量 $m_2$ である3体問題のすべての解を特徴づけること。
• 全エネルギーが負で角運動量が非ゼロであるすべての解が、衝突のない有界な運動をとることを証明すること。
• 1つの2階常微分方程式の解を用いて、3体すべての運動を明示的に構成すること。
• 1つの中心質量と $n-1$ 個の等質量の物体を有する一般の $n$-体問題へ結果を拡張すること。
• 3体、4体、5体、6体問題に対して、高い数値精度を有する周期的解の明示的例を提示すること。

提案手法

• 万有引力定数を1に設定し、ニュートン力学に基づいて系をモデル化する。中心質量 $m_1$ は $z$-軸に沿って運動するものとし、$x(t) = (0,0,f(t))$ と表す。
• 重心保存則を課す：$m_1 x(t) + m_2 y(t) + m_2 z(t) = (0,0,0)$ により、対称的射影 $Y = (y_1,y_2)$, $Z = (-y_1,-y_2)$ および $z_3 = y_3 = -\frac{m_1}{2m_2}f(t)$ が得られる。
• 保存量を定義する：角運動量 $c_1 = y_1 \dot{y}_2 - y_2 \dot{y}_1$ と全エネルギー $c_2$ であり、これらが運動を支配する。
• $f(t) = g(r(t))$ とおき、$a(r,g,g')g'' + b(r,g)g' + c(g,r) = 0$ を導出することで、軌道物体の半径距離 $r(t)$ に関する2階常微分方程式に系を簡約する。
• エネルギーおよび角運動量制約を用いて変数分離法により $r(t)$ を解き、$r^2 \dot{\theta} = c_1$ から $\theta(t)$ を復元することで、$x(t), y(t), z(t)$ の完全な再構成が可能になる。
• 初期条件が $\xi(q_0) < 10^{-11}$ を満たすことで周期性を検証し、周期的軌道と高い数値的一致性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの中心質量と2体の等質量の回遊体を有する3体系が、すべての時間において衝突のない有界な運動を保つための条件は何か？
• RQ2 3体すべての運動を、1つの2階常微分方程式の解から明示的に導出できるか？
• RQ3 対称的 $n$-体問題において、有界で周期的な解を保証するエネルギー $c_2$ と角運動量 $c_1$ の制約は何か？
• RQ4 1つの中心質量と $n-1$ 個の等質量の物体を有する $n$-体問題を、解ける常微分方程式系にどのように簡約できるか？
• RQ5 解が周期的であることを保証する数値的基準は何か？ また、そのような解を高精度にどのように構成できるか？

主な発見

• 全エネルギーが負（$c_2 < 0$）で角運動量が非ゼロ（$c_1 \neq 0$）であるすべての解は、衝突のない有界な運動を示し、$c_1, c_2, m_1, m_2$ に依存する明示的な $a_1, b_1$ を用いて $0 < a_1 < r(t) < b_1$ を満たす。
• $8m_1m_2^2 + m_2^3 + 16c_2c_1^2 > 0$ を満たす解の部分族は有界であり、長期的安定性を保証する。
• パrameter空間における有界解集合の開性と初期条件への連続的依存性により、無限個の周期的解が存在することが保証される。
• 四則積分を用いて $x(t), y(t), z(t)$ の明示的解が構成される：$g(r)$ がODEを満たせば、$r(t)$ は積分により得られ、$\theta(t)$ は $r^2 \dot{\theta} = c_1$ から復元され、全軌道の再構成が可能になる。
• $n=3$ から $6$ に対して、$\xi(q_0) < 10^{-11}$ を満たす12個の明示的周期的解が構成され、初期条件が周期的軌道と5〜7桁の精度で一致していることが示された。
• 結果は、1つの中心質量 $m_1$ と $n-1$ 個の等質量 $m_2$ を有する $n$-体問題へ一般化可能であり、$g(r)$ を記述するODEは $k = \frac{m_1 + n m_2}{n m_2}$ を用いて導出される。