[論文レビュー] A fast and accurate domain-decomposition nonlinear manifold reduced order model

Alejandro N. Diaz, Youngsoo Choi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2023

Model Reduction and Neural Networks参考文献 70被引用数 9

ひとこと要約

本研究は非線形多様体ROMを領域分割と結合し、広く浅い疎なオートエンコーダとハイパーリダクションを用いてサブドメインNM-ROMを並列訓練し、2D Burgers方程式に対してDD LS-ROMより高速でより正確な解を得る。

ABSTRACT

This paper integrates nonlinear-manifold reduced order models (NM-ROMs) with domain decomposition (DD). NM-ROMs approximate the full order model (FOM) state in a nonlinear-manifold by training a shallow, sparse autoencoder using FOM snapshot data. These NM-ROMs can be advantageous over linear-subspace ROMs (LS-ROMs) for problems with slowly decaying Kolmogorov n-width. However, the number of NM-ROM parameters that need to be trained scales with the size of the FOM. Moreover, for "extreme-scale" problems, the storage of high-dimensional FOM snapshots alone can make ROM training expensive. To alleviate the training cost, this paper applies DD to the FOM, computes NM-ROMs on each subdomain, and couples them to obtain a global NM-ROM. This approach has several advantages: Subdomain NM-ROMs can be trained in parallel, involve fewer parameters to be trained than global NM-ROMs, require smaller subdomain FOM dimensional training data, and can be tailored to subdomain-specific features of the FOM. The shallow, sparse architecture of the autoencoder used in each subdomain NM-ROM allows application of hyper-reduction (HR), reducing the complexity caused by nonlinearity and yielding computational speedup of the NM-ROM. This paper provides the first application of NM-ROM (with HR) to a DD problem. In particular, this paper details an algebraic DD reformulation of the FOM, training a NM-ROM with HR for each subdomain, and a sequential quadratic programming (SQP) solver to evaluate the coupled global NM-ROM. Theoretical convergence results for the SQP method and a priori and a posteriori error estimates for the DD NM-ROM with HR are provided. The proposed DD NM-ROM with HR approach is numerically compared to a DD LS-ROM with HR on the 2D steady-state Burgers' equation, showing an order of magnitude improvement in accuracy of the proposed DD NM-ROM over the DD LS-ROM.

研究の動機と目的

• ドメイン分割を通じて大規模FOM上のNM-ROMのオフライントレーニングコストを削減し、スケーラビリティを向上させる動機づけ。
• 各サブドメインにハイパーリダクションを適用したDD NM-ROMを開発し、それらを結合してグローバルな NM-ROM を形成する。
• DD NM-ROM with HR の収束性結果と誤差推定を理論的に提供する。
• 2D定常状態の Burgers 方程式でこの手法を実証し、HRを伴うDD LS-ROMと比較する。

提案手法

• ポートベースの適合性制約を伴う拘束付き非線形最小二乗問題としてFOMの代数的ドメイン分解を定式化する。
• NM-ROMs によって提供される低次元写像でサブドメイン状態を近似する。広く浅い疎なオートエンコーダを用いて。
• 各サブドメインNM-ROM内の非線形項の評価コストを削減するためにハイパーリダクションを適用する。
• ポートを介してサブドメインを結合するためにROMポート制約を強制的または弱く適用し、グローバルな縮約系を得る。
• 結果として得られる拘束LSPG-ROMを不正確なラグランジュ-ニュートンSQP法で解き、収束解析を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DDと統合された NM-ROM は、サブドメインごとの訓練データとパラメータ数を削減しつつ、グローバルな高精度解を達成できるか？
• RQ2 ハイパーリダクションは、精度を維持したまま、DD NM-ROM に対してDD LS-ROM と同等以上の計算速度向上を可能にするか？
• RQ3 強いROMポート制約と弱いROMポート制約は、結合精度と解法の収束にどう影響するか？
• RQ4 このDD設定におけるDD NM-ROM with HR の既知前・既知後の誤差境界は何か？

主な発見

• DD NM-ROM with HR は、2D定常状態 Burgers 方程式において HR を用いた DD LS-ROM よりもオーダーオブマグニチュードの精度向上をもたらす。
• サブドメインNM-ROMは並列に訓練可能で、サブドメインごとの訓練データ量が小さくなり、オフラインコストを削減する。
• 広く浅く疎なオートエンコーダアーキテクチャは効果的なハイパーリダクションを可能にし、非線形項の計算を大幅に高速化する。
• 理論的に正当化された不正確なラグランジュ-ニュートンSQP解法を含み、収束結果を提供する。
• このアプローチはHRを用いたNM-ROMをDD設定へ一般化し、DD NM-ROM with HR に対する既知前および既知後の誤差推定を提供する。