[論文レビュー] A fast convergence theorem for nearly multiplicative connections on proper Lie groupoids

Giorgio Trentinaglia|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、再帰的平均化手法を用いて、適切なリー群ガロアに対して、ほぼ乗法的接続を真の乗法的接続へと変形する高速収束定理を確立する。主な貢献は、$C^k$-位相における収束を保証する構成的技法であり、乗法的接続の研究を正則群ガロア上の縦断的表現に還元し、カルタン接続の障害理論への道筋を示している。

ABSTRACT

Motivated by the study of a certain family of classical geometric problems we investigate the existence of multiplicative connections on proper Lie groupoids. We show that one can always deform a given connection which is only approximately multiplicative into a genuinely multiplicative connection. The proof of this fact that we present here relies on a recursive averaging technique. As an application we point out that the study of multiplicative connections on general proper Lie groupoids reduces to the study of longitudinal representations of regular groupoids. We regard our results as a preliminary step towards the elaboration of an obstruction theory for multiplicative connections.

研究の動機と目的

• リー群ガロア上での乗法的（カルタン）接続の存在および変形というグローバル問題に取り組むこと、特に源ファイバーが単連結でない場合を含む。
• 古典的障害を $G$-構造に一般化するために、適切なリー群ガロア上での乗法的接続を研究すること。
• 近似的に乗法的である接続を真の乗法的接続へと変形する体系的な手法を開発すること、特に単連結でない設定にも適用可能であること。
• 一般の適切なリー群ガロア上での乗法的接続の解析を、正則群ガロア上での縦断的表現の研究に還元すること。
• 乗法的接続の存在および変形に関する最終的な障害理論のための基礎的道具を構築すること。

提案手法

• ほぼ乗法的接続に対して再帰的平均化手順を適用し、その乗法的でない点を段階的に是正する。
• この手法は正規化されたハール系と群ガロアの構造上の積分に依存しており、群ガロアの乗法構造と整合性を持つことを保証する。
• 連続する近似の間の誤差に対する反復的推定を用いて、$C^k$-位相における収束を証明する。
• 重要な技術的ステップとして、コンパクト台付き切断の拡張とハール積分を用いて、関連ベクトル bundle の切断上への連続的平均化作用素を定義する。
• 局所座標の還元と分割の単位を用いることで、この構成が $C^k$-連続であることを示す。
• この手法は接続に適用され、一般化された表現へと拡張され、両者の状況を統一した枠組みを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切なリー群ガロア上でのほぼ乗法的接続が、真の乗法的接続に変形可能となる条件は何か？
• RQ2 一般の適切なリー群ガロア上での乗法的接続の存在が、正則群ガロア上での縦断的表現の研究にどのように還元できるか？
• RQ3 近似的に乗法的構造を変形する反復的平均化手順の収束速度は何か？
• RQ4 古典的パスリフト法が失敗する非単連結な源ファイバーにおいて、乗法的接続理論をどのように拡張できるか？
• RQ5 適切なリー群ガロア上での乗法的接続の存在および変形に関する障害は何か？

主な発見

• 再帰的平均化手法により、$C^k$-位相においてほぼ乗法的接続が真の乗法的接続へと高速に収束することが保証される。
• 収束は、源ファイバーが単連結でない場合を含め、任意の適切なリー群ガロアに対して保証される。
• この手法により、わずかに乗法的であるにすぎない与えられた接続から、修正の逐次列を用いて乗法的接続が構成可能である。
• 一般の適切なリー群ガロア上での乗法的接続の研究は、正則群ガロア上での縦断的表現の研究に還元可能である。
• 平均化作用素が $C^k$-連続であることが示され、この手法の滑らかさの分野における頑健性が保証される。
• これらの結果により、適切なリー群ガロア上での乗法的接続の障害理論を構築するための基礎的枠組みが提供される。