[論文レビュー] A fast eikonal equation solver using the Schrodinger wave equation

Karthik S. Gurumoorthy, Peter, Adrian M.+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2014

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ひとこと要約

本論文は、シュレーディンガー波動方程式の形式を用いて、小スケールのプランク定数（$\hbar$）におけるスクリーンド・ポアソン方程式の極限として、eikonal方程式を解くための新しい線形フレームワークを提案する。この方法は、明示的な粘性解の構築を回避し、FFTを用いた摂動理論またはスパース線形ソルバーを用いる。形状から形状を推定する問題、経路計画、血管分離の応用において、fast marching法やfast sweeping法と同等の性能を達成する。

ABSTRACT

We use a Schrödinger wave equation formalism to solve the eikonal equation. In our framework, a solution to the eikonal equation is obtained in the limit as Planck's constant $\hbar$ (treated as a free parameter) tends to zero of the solution to the corresponding linear Schrödinger equation. The Schrödinger equation corresponding to the eikonal turns out to be a \emph{generalized, screened Poisson equation}. Despite being linear, it does not have a closed-form solution for arbitrary forcing functions. We present two different techniques to solve the screened Poisson equation. In the first approach we use a standard perturbation analysis approach to derive a new algorithm which is guaranteed to converge provided the forcing function is bounded and positive. The perturbation technique requires a sequence of discrete convolutions which can be performed in $O(N\log N)$ using the Fast Fourier Transform (FFT) where $N$ is the number of grid points. In the second method we discretize the linear Laplacian operator by the finite difference method leading to a sparse linear system of equations which can be solved using the plethora of sparse solvers. The eikonal solution is recovered from the exponent of the resultant scalar field. Our approach eliminates the need to explicitly construct viscosity solutions as customary with direct solutions to the eikonal. Since the linear equation is computed for a small but non-zero $\hbar$, the obtained solution is an approximation. Though our solution framework is applicable to the general class of eikonal problems, we detail specifics for the popular vision applications of shape-from-shading, vessel segmentation, and path planning.

研究の動機と目的

• eikonal方程式を非線形な性質を持つが、シュレーディンガー波動方程式の極限として扱うことで、新しい線形的手法を考案すること。
• 通常eikonalソルバーで必要とされる明示的な粘性解の構築を回避すること。
• 形状から形状を推定、経路計画、血管分離などの多様な視覚問題に適用可能な、数値的に安定で効率的なフレームワークを提供すること。
• 小$\hbar$におけるスクリーンド・ポアソン方程式の解が、真のeikonal解の良好な近似となることを示すこと。
• 標準的な線形ソルバーやFFTベースの技術を用いて、fast marching法やfast sweeping法の代替として計算的に効率的な手法を提供すること。

提案手法

• eikonal方程式を、小さな非ゼロの$\hbar$を持つ線形シュレーディンガー方程式の極限として定式化し、一般化されたスクリーンド・ポアソン方程式を導出する。
• 摂動理論を用いてスクリーンド・ポアソン方程式を解き、強制関数が有界かつ正である場合に収束を保証する。FFTを用いることで$O(N\log N)$の計算量を達成する。
• 有限差分法を用いてラプラシアン演算子を離散化し、標準的なスパースソルバーで解けるスパース線形系を構築する。
• 線形系の解から得られるスカラー場の指数関数としてeikonal解を回復する。
• 形状から形状を推定に応用する際には、画像の強度勾配と既知の高さ点から強制関数を導出する。
• 経路計画および血管中心線抽出に適応させるために、適切な境界条件と強制関数を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 eikonal方程式は、シュレーディンガー型方程式に変換することで、効率的に解けるか？
• RQ2 小$\hbar$におけるスクリーンド・ポアソン方程式の解は、eikonal方程式の粘性解の有効な近似となるか？
• RQ3 FFTを用いた摂動ベースの手法は、視覚応用分野においてfast marching法やfast sweeping法と同等の性能を達成できるか？
• RQ4 スパース線形系アプローチは、形状から形状を推定および経路計画の分野で、既存のeikonalソルバーと比較して精度と効率の点で優れているか？
• RQ5 この線形フレームワークは、コンピュータビジョンや制御理論における他のeikonal問題へ一般化可能か？

主な発見

• 形状から形状を推定の応用において、本手法は競争力ある再構成精度を達成し、勾配の大きさ誤差が0.203321にとどまり、テストケースではfast sweeping法（0.199234）とfast marching法（0.237820）を上回る。
• 摂動ベースの手法は、有界かつ正の強制関数に対して収束を保証し、FFTを用いた$O(N\log N)$の計算量で安定かつ効率的な解法を実現する。
• スパース線形系アプローチは、標準的なスパースソルバーを用いた堅牢で直感的な実装を可能にし、応用分野全体で高い精度を維持する。
• 明示的な構築が不要なため、従来の非線形ソルバーと比較して実装が簡素化される。
• 血管分離および経路計画の応用において、同じ線形フレームワークを用いて中心線と最適経路を効果的に回復した。
• 強制関数および境界条件の最小限の変更で、制御理論や中軸計算を含む他のeikonal問題へも一般化可能である。