[論文レビュー] A Fast Max Flow Algorithm

James B. Orlin, X Gong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 17被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、スタックを排除し、負の超過を処理するためのフローリターンフォレストを導入することで、O(nm log n / log log n) の時間計算量を達成する新しい最大フローアルゴリズム、強化型 Large-Medium Excess-Scaling (LMES) アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、すべての n および m に対して King, Rao, および Tarjan のアルゴリズムを厳密に上回り、スパarsなグラフ (m ≤ n log n) では log log n の高速化を達成する。

ABSTRACT

Diversity is an important principle in data selection and summarization, facility location, and recommendation systems. Our work focuses on maximizing diversity in data selection, while offering fairness guarantees. In particular, we offer the first study that augments the Max-Min diversification objective with fairness constraints. More specifically, given a universe 𝒰 of n elements that can be partitioned into m disjoint groups, we aim to retrieve a k-sized subset that maximizes the pairwise minimum distance within the set (diversity) and contains a pre-specified k_i number of elements from each group i (fairness). We show that this problem is NP-complete even in metric spaces, and we propose three novel algorithms, linear in n, that provide strong theoretical approximation guarantees for different values of m and k. Finally, we extend our algorithms and analysis to the case where groups can be overlapping.

研究の動機と目的

• 全てのグラフ密度において、既存の手法を上回るより高速な強多項式時間の最大フローアルゴリズムの開発。
• 超過スケーリングアルゴリズムにおけるスタックデータ構造の必要性を排除し、実装の簡素化と効率の向上を図ること。
• わずかに負の超過を持つノードを効率的に処理するためのフローリターンフォレストという新しいデータ構造を導入し、O(logk n) スケーリング段階で非負の超過を回復すること。
• ダイナミックツリーに依存せずに、より優れた漸近的実行時間の達成を可能とし、最適化の新たな道筋を開くこと。
• Orlinの収縮補題のより簡単な証明を提示し、最大フローアルゴリズムにおける基礎的分析を強化すること。

提案手法

• スタックスケーリングアルゴリズムのスタックフリーな変種である Large-Medium Excess-Scaling (LMES) を提案し、元のフレームワークの簡素化を図る。
• 負の超過を持つノードを格納する新しいデータ構造としてのフローリターンフォレストを導入し、局所的なフローパッシュによって非負の超過を回復する。
• ユーザーが指定可能なパラメータ k を用いたスケーリングアプローチを採用し、漸近的実行時間を最小化するため、k = ⌈log n / (log log n + m/n)⌉ に最適化する。
• 小さな負の超過を許容する修正された超過スケーリング戦略を採用し、バケットベースのアーク分類（小、中、大）を用いて効率的な更新を実現する。
• 各ノードに対して IMB(v, x, ∆) および ˆe(v, ∆) の値を維持し、除算や対数関数を用いず、ポインタとバケットの更新のみで超過および不均衡を O(1) で評価可能にする。
• ダイナミックツリーを避けるために、効率的なアーク分類とフローリカバリメカニズムに依存し、データ構造のオーバーヘッドを低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スタックを用いずに、性能を維持または向上させることのできる最大フローアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 負の超過を処理するためのフローリターンフォレストの導入が、証明可能に高速なアルゴリズムをもたらすか？
• RQ3 すべてのグラフ密度において、King, Rao, および Tarjan のアルゴリズムを厳密に上回る実行時間の達成は可能か？
• RQ4 ダイナミックツリーを用いずに、O(nm log n / log log n) の時間計算量を達成することは可能か？
• RQ5 O(nm) 最大フローアルゴリズムの理論的基盤を強化するため、Orlinの収縮補題のより簡単な証明を構築できるか？

主な発見

• 提案された強化型 LMES アルゴリズムは、O(nm log n / log log n) の時間計算量で実行され、n および m のすべての値に対して King, Rao, および Tarjan のアルゴリズムの O(nm logβ n) の時間計算量を厳密に上回る。
• m ≤ n log n のグラフでは、新しいアルゴリズムは O(log log n) の要因で高速であり、スパースグラフにおける性能向上が顕著に顕在される。
• ダイナミックツリーを用いていないにもかかわらず、この高速化が達成されており、将来的にこのような構造を用いた最適化がさらに可能である可能性を示唆している。
• O(nm) 最大フローアルゴリズムの理論的基盤を強化するため、Orlinの収縮補題の新たな、より簡単な証明を提示した。
• フローリターンフォレストにより、O(logk n) スケーリング段階で負の超過を持つノードの効率的回復が可能となり、改善された漸近的バウンドの達成に寄与している。
• 除算や対数関数を避けるポインタとバケットの更新により、超過および不均衡値（ˆe(v, ∆) および IMB(v, x, ∆)）の O(1) 評価が可能である。