[論文レビュー] A fast method for pricing American options under the variance gamma model

Weilong Fu, Ali Hirsa|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、バーリエーション・ギャンマ（VG）モデル下でのアメリカン・オプションの価格設定に対して、高速かつ高精度な手法を提案する。二次近似とカーネル回帰を組み合わせ、近似誤差を補正する。この手法は、機械学習を用いて補正項を事前に計算することで、解析的近似と同等の高速性を実現しながらも、高い精度を維持しており、有限差分法やモンテカルロ法を上回る性能を示している。

ABSTRACT

We investigate methods for pricing American options under the variance gamma model. The variance gamma process is a pure jump process which is constructed by replacing the calendar time by the gamma time in a Brownian motion with drift, which makes it a time-changed Brownian motion. In general, the finite difference method and the simulation method can be used for pricing under this model, but their speed is not satisfactory. So there is a need for fast but accurate approximation methods. In the case of Black-Merton-Scholes model, there are fast approximation methods, but they cannot be utilized for the variance gamma model. We develop a new fast method inspired by the quadratic approximation method, while reducing the error by making use of a machine learning technique on pre-calculated quantities. We compare the performance of our proposed method with those of the existing methods and show that this method is efficient and accurate for practical use.

研究の動機と目的

• 純ジャンプ・レヴィ過程、特にバーリエーション・ギャンマ（VG）モデル下でのアメリカン・オプションに対して、高速かつ高精度な近似手法が不足しているという問題に取り組む。
• 有限差分法（遅い）やモンテカルロ・シミュレーション（遅くノイズが多い）といった既存手法の限界を克服し、実用的なオプション価格設定に適した手法を提供する。
• 二次近似の高速性を活かしつつ、カーネル回帰を用いたデータ駆動型補正によって誤差を低減するハイブリッド手法を開発する。
• CGMY や NIG などの他の純ジャンプ・モデルへも容易に拡張可能な、実用的でスケーラブルな手法を構築する。
• リアルタイムリスク管理や市場メイキングに適した、計算速度と価格精度のバランスを取った手法を実現する。

提案手法

• ジュ＝ジョンの二次近似フレームワークをVGモデルに適応し、時間ステップを必要としないPIDEに基づく簡略化近似を用いる。
• 初期の二次近似による誤差を低減するため、補正項を近似価格に追加する。
• 非パrametricなカーネル回帰を用い、モデルパラメータ（r, q, T, σ, ν, θ）の関数として補正項を推定する。この推定には、事前に計算されたオプション価格を用いる。
• パラメータグリッドのデカルト積（6次元入力、N+1出力変数）を用いてカーネル回帰を訓練する。N=6は株価グリッドに対応する。
• 交差検証（5回繰り返し）を用いてカーネルバンド幅を最適化し、結果を平均化して耐性を高める。
• 最終的な価格算出ルーチンを、事前学習済みの補正モデルに基づくルックアップと回帰関数として実装し、オンラインでの高速評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限差分法やモンテカルロ法よりも著しく高速でありながら、高い精度を維持できる、VGモデル下でのアメリカン・オプションの高速近似手法を開発できるか？
• RQ2 二次近似と機械学習ベースの補正を組み合わせることで、純ジャンプ・モデルにおける価格誤差はどの程度低減できるか？
• RQ3 満期までの期間が延びる（特に T > 0.5 の場合）と、提案手法の性能はどの程度低下するか？
• RQ4 本手法は、CGMY や NIG などの他の純ジャンプ・レヴィモデルへ、最小限の変更で一般化可能か？
• RQ5 限定的な数のトレーニング点を用いて補正項を事前計算することが可能であり、その結果得られるモデルがリアルタイム利用に耐えうる精度と効率を維持できるか？

主な発見

• 提案手法は、速度と精度のバランスに優れ、有限差分法（FDcoarse）およびモンテカルロ法の両方を誤差と計算時間の両面で上回っている。
• FDfine（高精度基準）よりも著しく高速であり、解析的近似と同等の速度を達成している。
• 有限差分法が高速化された（FDcoarse）場合でも、T ≤ 0.5 の範囲では、提案手法がわずかに低い誤差を示している。
• T = 1.0 の場合、長期間にわたる真のアメリカン・オプション・プレミアム・サーフェスを指数関数的形で近似する困難さのため、性能がわずかに低下している。
• カーネル回帰ベースの補正により、初期の二次近似の誤差は、ほとんどの場合、Bid-Ask スプレッド内またはそれ以下にまで低減されており、実用的価値を持つ。
• 本手法は耐性があり、スケーラブルであり、事前計算フェーズを除けば、計算コストは非常に低く、オンラインでの高速価格設定が可能である。