[論文レビュー] A fast solver for spectral element approximation applied to fractional differential equations using hierarchical matrix approximation

Xianjuan Li, Zhiping Mao+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2方向分数拡散方程式のスペクトル有限要素離散化に対する高速反復解法を、階層行列（H行列）近似を用いて提示する。密度行列のH行列圧縮と階層的LU分解を用いることで、解法コストを O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²) に低減し、前処理を施さない系と比較して条件数を11桁以上低減するが、同時にスペクトル有限要素法の高次精度を維持する。

ABSTRACT

We develop a fast solver for the spectral element method (SEM) applied to the two-sided fractional diffusion equation on uniform, geometric and graded meshes. By approximating the singular kernel with a degenerate kernel, we construct a hierarchical matrix (H-matrix) to represent the stiffness matrix of the SEM and provide error estimates verified numerically. We can solve efficiently the H-matrix approximation problem using a hierarchical LU decomposition method, which reduces the computational cost to $O(R^2 N_d \log^2N) +O(R^3 N_d \log N)$, where $R$ it is the rank of submatrices of the H-matrix approximation, $N_d$ is the total number of degrees of freedom and $N$ is the number of elements. However, we lose the high accuracy of the SEM. Thus, we solve the corresponding preconditioned system by using the H-matrix approximation problem as a preconditioner, recovering the high order accuracy of the SEM. The condition number of the preconditioned system is independent of the polynomial degree $P$ and grows with the number of elements, but at modest values of the rank $R$ is below order 10 in our experiments, which represents a reduction of more than 11 orders of magnitude from the unpreconditioned system; this reduction is higher in the two-sided fractional derivative compared to one-sided fractional derivative. The corresponding cost is $O(R^2 N_d \log^2 N)+O(R^3 N_d \log N)+O(N_d^2)$. Moreover, by using a structured mesh (uniform or geometric mesh), we can further reduce the computational cost to $O(R^2 N_d\log^2 N) +O(R^3 N_d \log N)+ O(P^2 N\log N)$ for the preconditioned system. We present several numerical tests to illustrate the proposed algorithm using $h$ and $p$ refinements.

研究の動機と目的

• 2方向分数拡散方程式のスペクトル有限要素離散化に起因する密行列線形系の高コストと悪条件性を解消すること。
• スペクトル有限要素法の高次精度を保ちつつ、得られる密行列系を効率的に解けるようにすること。
• 均一・幾何的・グレーデッドメッシュに対応する、階層行列近似と前処理を用いた高速かつスケーラブルな解法を開発すること。
• 条件数が多項式次数Pに依存しない、最適な計算量 O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²) を達成すること。

提案手法

• 分数積分作用素の特異核を退化核で近似することで、剛性行列に対する階層行列（H行列）表現を可能にする。
• 階層的LU分解を用いてH行列を構築し、非対角ブロックの低ランク構造を活用して記憶量と計算コストを削減する。
• H行列近似を元のスペクトル有限要素系の前処理に用い、条件数の低減を図るとともに、高次精度を回復する。
• 均一または幾何的メッシュの構造的特徴を活かし、前処理系のコストを O(P²N log N) にさらに低減する。
• Toeplitzに類似した構造とスケーリングされた積分を含むブロック行列分解を用いて、H行列ブロックを効率的に計算する。
• Jacobi多項分数多項式を基底関数として用いるPetrov-Galerkin枠組みを適用し、グレーデッドメッシュ上でも高次収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階層行列近似は、2方向分数PDEのスペクトル有限要素離散化に起因する密行列に効果的に適用可能か？
• RQ2 この文脈において、H行列前処理を用いることで達成可能な計算量と条件数低減度はどの程度か？
• RQ3 本手法は、高速な解法時間を達成しつつ、スペクトル有限要素法の高次精度をどのように維持するか？
• RQ4 構造的メッシュを用いることで、H行列前処理系における計算コストをどの程度さらに低減できるか？
• RQ5 条件数は多項式次数Pと要素数Nにどのように依存するか？

主な発見

• H行列近似により、解法コストが O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²) に低減され、主な項は前処理系の解法である。
• 前処理系の条件数は多項式次数Pに依存せず、要素数に伴いゆっくりと増加し、数値実験では中程度のランクRにおいて10のオーダー未満に保たれる。
• 前処理により、未前処理系と比較して条件数が11桁以上低減され、特に2方向分数微分作用素においてより顕著な低減が観察される。
• 構造的メッシュ（均一または幾何的）では、前処理系の解法コストがさらに O(P²N log N) に低減され、効率的なp-型局所化が可能になる。
• 数値実験により、本手法の高精度が確認され、H行列前処理を用いてもスペクトル有限要素法の収束レートが維持される。
• 本手法は、端点特異性を有する問題に対しても高精度を維持でき、滑らかな右辺関数に対しては線形FEMやPGS法よりもL∞誤差が優れている。