[論文レビュー] A fast synthetic iterative scheme for the stationary phonon Boltzmann transport equation

Chuang Zhang, Songze Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2018

Thermal properties of materials参考文献 53被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、定常フォノンボルツマン輸送方程式（BTE）を解くための高速合成反復スキームを提案する。この手法は、BTEの零次および一次モーメント方程式から導出された密結合型マクロスコピック拡散方程式を用いる。本手法は位相空間全域におけるフォノン結合を強化することで収束を加速し、100回未満の反復で収束を達成する。これは、近似拡散的領域における従来の陰的離散座標法（DOM）と比較して、1〜3桁の高速化を実現する。

ABSTRACT

In this paper, a fast synthetic iterative scheme is developed to accelerate convergence for the implicit DOM based on the stationary phonon BTE. The key innovative point of the present scheme is the introduction of the macroscopic synthetic diffusion equation for the temperature, which is obtained from the zero- and first-order moment equations of the phonon BTE. The synthetic diffusion equation, which is asymptomatically preserving to the Fourier's heat conduction equation in the diffusive regime, contains a term related to the Fourier's law and a term determined by the second-order moment of the distribution function that reflects the non-Fourier heat transfer. The mesoscopic kinetic equation and macroscopic diffusion equations are tightly coupled together, because the diffusion equation provides the temperature for the BTE, while the BTE provides the high-order moment to the diffusion equation to describe the non-Fourier heat transfer. This synthetic iterative scheme strengthens the coupling of all phonons in the phase space to facilitate the fast convergence from the diffusive to ballistic regimes. Typical numerical tests in one-, two-, and three-dimensional problems demonstrate that our scheme can describe the multiscale heat transfer problems accurately and efficiently. For all test cases convergence is reached within one hundred iteration steps, which is one to three orders of magnitude faster than the traditional implicit DOM in the near-diffusive regime.

研究の動機と目的

• 定常フォノンBTEの近似拡散的領域における陰的離散座標法（DOM）の収束遅さを解決すること。
• 異なる波数ベクトルおよび空間位置間のフォノン結合を効率的に行わない従来の反復スキームの非効率性を克服すること。
• ミクロ的運動論的およびマクロ的拡散的物理を統合する合成スキームを構築し、収束性と精度を向上させること。
• 1次元、2次元、3次元問題において、拡散的からボールスティック的領域にまで及ぶマルチスケール熱伝達を、効率的かつ高精度にシミュレート可能とする。

提案手法

• フォノンBTEの零次および一次モーメント方程式から合成マクロスコピック拡散方程式を導出し、拡散的極限におけるフォアリエの法則の漸近的保存を保証する。
• 拡散方程式における熱フラックスを、温度勾配に依存するフォアリエ項と、分布関数の二次モーメントに依存する非フォアリエ項に分解する。
• ミクロ的BTEとマクロ的拡散方程式を密結合する：BTEは拡散方程式に二次モーメントを供給し、拡散方程式はBTEに温度を供給する。
• 反復アルゴリズムを実装し、各離散的波数ベクトルに対してBTEを解き、モーメント情報に基づいて拡散方程式を更新することで、高速なグローバル収束を実現する。
• 大規模3次元シミュレーションを高解像度で行うために、立体角空間にわたるMPI並列化を採用する。
• 各反復ステップでモーメントに基づく更新を強制することで、エネルギー保存則と数値的安定性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近似拡散的領域における定常フォノンBTEの陰的DOMに対する合成反復スキームは、収束速度を顕著に向上させ得るか？
• RQ2 モーメント方程式から導出されたマクロスコピック拡散方程式とミクロ的BTEを結合することで、収束速度と精度はどのように向上するか？
• RQ3 合成スキームは、拡散的からボールスティック的領域にまで広がる全範囲の輸送状態で、精度を維持できるか？ また、反復回数を削減できるか？
• RQ4 本スキームは、最小限の計算オーバーヘッドで大規模3次元マルチスケール熱伝達問題を効率的に処理できるか？
• RQ5 実際の3次元構成において、従来の陰的DOMと比較して、収束速度にどの程度の定量的改善が見られるか？

主な発見

• 本合成反復スキームは、12×12×6 μmの領域を含む大規模3次元テストケースを含め、すべての3次元テストケースで72〜99反復ステップで収束を達成した。
• 1次元、2次元、3次元問題のあらゆる設定（異なるグリッドサイズや角度離散化を含む）において、収束が100反復以内に一貫して達成された。
• 近似拡散的領域における従来の陰的DOMと比較して、収束速度が1〜3桁の高速化が達成された。
• 本スキームは、高温源付近の温度ジャンプなどの非フォアリエ的熱伝達効果を正確に捉えており、これらの領域でフォアリエの法則が成立しないことを示している。
• 合成拡散方程式は正しくフォアリエ極限を回復し、拡散的および非拡散的熱伝達の両方の物理を正確にモデル化している。
• MPI並列化の活用により、192コアで効率的な計算が可能となり、高解像度の大規模3次元シミュレーションが現実可能となった。