[論文レビュー] A faster algorithm for the discrete Fréchet distance under translation

Avraham, Rinat Ben, Kaplan, Haim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、平面における2つの点列の間の最小離散フリードリヒス距離を、平行移動の下で計算するより高速なアルゴリズムを提示する。距離閾値の0/1行列表現における到達可能性を維持する動的データ構造を用い、平行移動空間におけるパrametric検索中に効率的な更新とクエリを可能にし、m ≤ n の場合に O(m³n²(1 + log(n/m)) log(m + n)) の時間計算量の向上を達成する。

ABSTRACT

The (discrete) Fréchet distance (DFD) is a popular similarity measure for curves. Often the input curves are not aligned, so one of them must undergo some transformation for the distance computation to be meaningful. Ben Avraham et al. [Rinat Ben Avraham et al., 2015] presented an O(m^3n^2(1+log(n/m))log(m+n))-time algorithm for DFD between two sequences of points of sizes m and n in the plane under translation. In this paper we consider two variants of DFD, both under translation. For DFD with shortcuts in the plane, we present an O(m^2n^2 log^2(m+n))-time algorithm, by presenting a dynamic data structure for reachability queries in the underlying directed graph. In 1D, we show how to avoid the use of parametric search and remove a logarithmic factor from the running time of (the 1D versions of) these algorithms and of an algorithm for the weak discrete Fréchet distance; the resulting running times are thus O(m^2n(1+log(n/m))), for the discrete Fréchet distance, and O(mn log(m+n)), for its two variants. Our 1D algorithms follow a general scheme introduced by Martello et al. [Martello et al., 1984] for the Balanced Optimization Problem (BOP), which is especially useful when an efficient dynamic version of the feasibility decider is available. We present an alternative scheme for BOP, whose advantage is that it yields efficient algorithms quite easily, without having to devise a specially tailored dynamic version of the feasibility decider. We demonstrate our scheme on the most uniform path problem (significantly improving the known bound), and observe that the weak DFD under translation in 1D is a special case of it.

研究の動機と目的

• 点列 P と Q の間の最小離散フリードリヒス距離を、Q が P に対して平行移動された状態で R² で計算すること。
• 同じ問題に対して、Jiang らの O(m³n³ log(m + n)) 時間計算量の従来手法を改善すること。
• 平行移動によって生じる動的変化において、0/1行列における到達可能性を高速に維持できる効率的な動的データ構造を開発すること。
• 決定手続きの最適化と全体の実行時間の短縮を図るために、パrametric検索技術を適用すること。

提案手法

• 固定された距離閾値 δ に対して、0/1行列 M(P, Q) が一定であるような、平行移動平面の分割 Aδ を構築する。この分割は O(m²n²) 個の領域を含む。
• M の単一エントリの変更に対して O(m(1 + log(n/m))) 時間で更新が可能で、(1,1) から (m,n) への到達可能性クエリを O(1) 時間で行える動的データ構造 Γ(M) を使用する。
• 臨界値 δ のパrametric検索を実行し、M 内に単調な1のパスが存在するかをチェックする決定手続きを用いる。
• O(mn) 個のプロセッサと O(log(m + n)) ステップを用いて、円曲線に沿った交差点の並べ替えを並列的にシミュレートし、臨界円半径との比較を解消する。
• Cole の最適化を用い、二分探索を、各並列ステップごとに1回の決定手続き呼び出しに縮小することで、決定手続きの呼び出し回数を O(log²(m + n)) から O(log(m + n)) 回に削減する。
• 動的到達可能性構造とパrametric検索を組み合わせ、平行移動下での最小離散フリードリヒス距離を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Jiang らの O(m³n³ log(m + n)) の境界を上回る、平行移動下での離散フリードリヒス距離の計算を、より高速に行うことは可能か？
• RQ2 m ≤ n を仮定した場合、平行移動によって生じる変化の下で、0/1行列における到達可能性を、サブクアドレティックな更新コストを持つデータ構造で維持することは可能か？
• RQ3 動的決定手続きを用いて、パrametric検索を翻訳問題に効率的に適用することは可能か？
• RQ4 幾何的制約（例：c-パックド曲線）は、配置 Aδ の複雑さを低減する影響を及ぼすか？
• RQ5 局所的近傍性の性質に基づく粗い配置に探索を制限することで、全体の実行時間を改善できるか？

主な発見

• 本論文は、R² における平行移動下での最小離散フリードリヒス距離の計算について、O(m³n²(1 + log(n/m)) log(m + n)) の時間計算量を達成し、従来の O(m³n³ log(m + n)) の境界を改善した。
• 動的データ構造 Γ(M) は、m ≤ n を仮定した場合、エントリの更新を O(m(1 + log(n/m))) 時間、到達可能性クエリを O(1) 時間で行うことができる。
• Cole のパrametric検索最適化の適用により、決定手続きの呼び出し回数が O(log²(m + n)) から O(log(m + n)) 回に削減され、全体の効率性が向上した。
• c-パックド曲線で一様にサンプリングされた場合、アルゴリズムはさらに最適化され、O((cδ∗ₜ/Δ)² m³(1 + log(n/m)) log(m + n)) 時間で実行可能となる。ここで δ∗ₜ は最適な平行移動距離である。
• δ∗ₜ ≤ ∆ の場合、実行時間は O(c²m³(1 + log(n/m)) log(m + n)) に短縮され、低歪み領域での性能向上が示された。
• 決定手続きは、O(m²n²) 個のプロセッサと O(log(m + n)) ステップを用いて並列的に効率的にシミュレート可能であり、スケーラブルなパrametric検索を可能にする。