[論文レビュー] A faster hafnian formula for complex matrices and its benchmarking on a supercomputer

Andreas Björklund, Brajesh Gupt+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2018

Matrix Theory and Algorithms被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、シュール分解を用いて、複素行列のハフニアンを計算するための新しいO(n³2ⁿ/²)アルゴリズムを提示している。この手法は、正確なハフニアン評価を著しく高速化し、従来の環ベースアルゴリズムよりもn倍の高速化を達成している。また、Titanスパコン上でほぼ完璧な弱スケーリングを示し、高精度かつ並列効率の高い形で56×56の行列までのハフニアン計算を可能にした。

ABSTRACT

We introduce new and simple algorithms for the calculation of the number of perfect matchings of complex weighted, undirected graphs with and without loops. Our compact formulas for the hafnian and loop hafnian of $n \ imes n $ complex matrices run in $O(n^3 2^{n/2})$ time, are embarrassingly parallelizable and, to the best of our knowledge, are the fastest exact algorithms to compute these quantities. Despite our highly optimized algorithm, numerical benchmarks on the Titan supercomputer with matrices up to size $56 \ imes 56$ indicate that one would require the 288000 CPUs of this machine for about a month and a half to compute the hafnian of a $100 \ imes 100$ matrix.

研究の動機と目的

• 複素行列のハフニアンをより高速に正確に計算するアルゴリズムの開発。これは、量子光学および組合せ数学における重要な量である。
• ガウス型ボソンサンプリングのシミュレーションにおける計算ボトルネックの低減。これは、量子優位性のベンチマークである。
• ハイブリッドMPI+OpenMP並列処理を用いて、スパコン上でスケーラブルかつ高精度なハフニアン評価を実現すること。
• 大規模な量子サンプリング問題における古典的シミュレーションの実用的限界を確立すること。

提案手法

• サイガンとピリプツークの環ベースハフニアン手法におけるO(n⁴)の動的計画法によるテーブル計算を、複素行列のO(n³)シュール分解に置き換える。
• 複素数体上の初等線形代数を用いて導出された、n×n複素行列のハフニアンおよびループハフニアンの簡潔な公式を用いる。
• この手法は、MPIとOpenMPを併用した並列化が容易であり、数千のCPUコアに効率的に分散可能である。
• 数値ベンチマークは、最大288,000コアを用いてTitanスパコン上で実施され、56×56の行列サイズまで弱スケーリングテストが実施された。
• 分散計算においても、異なるMPI/OpenMPプロセス設定においても、誤差の変動がほとんどなく、高い数値的精度を維持している。
• 指数的スケーリングにおける多項式係数の最小化を設計しており、これは量子優位性の閾値を評価する上で極めて重要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な線形代数演算のみを用いて、複素行列のハフニアンをO(n³2ⁿ/²)時間で計算できるか？
• RQ2 ハイブリッド並列処理を用いた大規模スパコン上で、提案されたアルゴリズムは実際にどのようにスケーリングするか？
• RQ3 現在のアルゴリズム的およびアーキテクチャ的制約を考慮した場合、古典的ハードウェア上で正確なハフニアン計算の実用的上限は何か？
• RQ4 複数のプロセッサ間で非可換な和集合が行われる分散環境下でも、アルゴリズムの精度はどの程度安定しているか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムはO(n³2ⁿ/²)の時間計算量を達成しており、従来の最良の環ベースハフニアンアルゴリズムよりもn倍の高速化を実現している。
• Titanスパコン上では、288,000コアを用いて56×56のハフニアンを計算するのに約1.5か月を要し、完全なスケーリングが保証された場合、100×100のハフニアン計算には少なくとも1.5か月がかかると示唆している。
• 弱スケーリング実験では、行列サイズとプロセッサ数を同時に2倍にした場合、合計計算時間が頭打ちになることが確認され、問題量/プロセッサ比を固定した良好な弱スケーリングが得られた。
• 最大288,000コアまで、計算時間はプロセッサ数が2倍になると半減するというほぼ完璧な強スケーリングを示している。
• MPIおよびOpenMPのプロセス設定が異なっても、ハフニアンの結果における誤差率は常に微小であり、分散和集合における数値的安定性が確認された。
• 最適化が施されたにもかかわらず、n > 60のハフニアンの正確な計算は古典的ハードウェア上で現実には不可能であり、n=100では16プロセッサでも約2155年を要する。