[論文レビュー] A faster method for computing Gama-Nguyen-Regev's extreme pruning coefficients

Yoshinori Aono|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Gama-Nguyen-Regevの極端なプルーニング技法の計算コストを著しく削減するため、補間に基づく近似を用いて、格子ベクトル列挙における近似的最適化プルーニング係数を高速に計算する手法を提案する。事前に最適化された係数を主要パラメータに対して計算し、適応的確率補正を伴う補間を施すことにより、次元200までで3秒未塔で近似的最適性能を達成し、成功確率誤差は1%未塔に抑えられる。

ABSTRACT

This paper considers Gama-Nguyen-Regev's strategy [GNR10] for optimizing pruning coefficients for lattice vector enumeration. We give a table of optimized coefficients and proposes a faster method for computing near-optimized coefficients for any parameters by interpolation. From the first version published in 2014, we inserted new Section 3.3 to introduce our recent technique to compute approximations of enumeration cost and success probability; both are completed in O(n^2) floating point operations where n is the lattice dimension. For readers who are interested in this topic, we keep the descriptions of our heuristic optimization method in Section 4 although they are outdated now.

研究の動機と目的

• Gama-Nguyen-Regevが提案した極端なプルーニングを含む格子列挙アルゴリズムにおけるプルーニング係数最適化の高い計算コストを軽減すること。
• 広範に使用可能なほど遅すぎるもとのモンテカルロベースの最適化手法の実用的代替を提供すること。
• 再び高価なシミュレーションを実行することなく、任意の格子次元およびヘルメート要因に対して近似的最適なプルーニング係数を生成すること。
• GNR係数のスケーリング近似をより正確な補間値に置き換えることで、暗号解析推定の精度を向上させること。
• 格子暗号におけるBKZ型アルゴリズムの性能予測をより高速かつ正確に行えるようにすること。

提案手法

• 幾何的級数仮説を満たす格子を対象とし、Gama-Nguyen-Regevのヒューリスティック法を用いて、基本パラメータの集合（n, δ, p₀）に対して最適化されたプルーニング係数を事前に計算する。
• 次元n = 60, 80, ..., 200における多項式補間を用いて、中間次元の係数曲線を生成する。
• ヘリュート要因δ ∈ [1.005, 1.02]における補間を適用し、任意のδ値への係数生成を拡張する。
• 成功確率が目標p₀と一致するように、修正定数aを用いた確率補正機構を導入する。
• 各補間曲線について成功確率の下限Lと上限Uを計算し、p₀ = aL + (1−a)Uを満たすaを解く。
• 結合曲線Rᵢ² = c·(Rᵢᴸ)² + (1−c)·(Rᵢᵁ)²に対して二分探索を適用し、目標確率を達成するcを求める。この際、適応的a値を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gama-Nguyen-Regevの元来のモンテカルロベースの手法よりも、格子列挙用のプルーニング係数をより効率的に計算できるか？
• RQ2 事前に計算された最適化係数を用いた補間により、任意の格子パラメータに対して近似的最適な結果を得られる程度はどの程度か？
• RQ3 最小限の体積計算回数で、補間されたプルーニング曲線の成功確率をどの程度正確に補正できるか？
• RQ4 ノード数と成功確率の観点から、補間された係数の性能は、GNR元来係数のスケーリング版と比べてどの程度か？
• RQ5 実用的な格子次元（n ≤ 200）において、サブ秒の実行時間で近似的最適性を達成しつつ、高い正確性を維持できるか？

主な発見

• 提案手法は、次元200までで3秒未塔の実行時間で近似的最適なプルーニング係数を計算可能であり、元来のモンテカルロコストに比べ顕著に高速化される。
• 確率補正を施した後、補間誤差は1%未塔にまで低下するが、単純な補間では約10%の誤差が生じる。
• δ = 1.01およびp₀ = 0.01の場合、修正定数aはn=140で0.3200、n=61で0.4858の間で変動し、奇数次元・偶数次元の差に依存する。
• BKZ-20（δ = 1.0128, n = 110）について、f = 0,1,4,10,15の各fに対してp₀ = 0.6·2⁻ᶠを目標確率として、係数曲線を正常に生成した。
• GNR係数のスケーリング版と比較して、列挙ノード数が最大15%まで削減され、GNR係数と提案手法のノード数比は常に1.15未塔に保たれる。
• 補間と補正後も、プルーニング係数の単調性および境界（0 ≤ Rᵢ ≤ 1）が保持され、格子列挙における正しさが保証される。