[論文レビュー] A FEAST Algorithm with oblique projection for generalized eigenvalue problems

Guojian Yin, Raymond H. Chan+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 27被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、斜交射影と輪郭積分を用いて、FEASTアルゴリズムを非エルミート型一般固有値問題へ拡張し、複素平面内のユーザーが定義した領域内に存在する固有値を安定的かつ正確に計算可能にする。本手法は、特に悪条件や非エルミート型の状況において、従来のソルバーよりも精度と効率に優れる。

ABSTRACT

The contour-integral based eigensolvers are the recent efforts for computing the eigenvalues inside a given region in the complex plane. The best-known members are the Sakurai-Sugiura (SS) method, its stable version CIRR, and the FEAST algorithm. An attractive computational advantage of these methods is that they are easily parallelizable. The FEAST algorithm was developed for the generalized Hermitian eigenvalue problems. It is stable and accurate. However, it may fail when applied to non-Hermitian problems. In this paper, we extend the FEAST algorithm to non-Hermitian problems. The approach can be summarized as follows: (i) to construct a particular contour integral to form a subspace containing the desired eigenspace, and (ii) to use the oblique projection technique to extract desired eigenpairs with appropriately chosen test subspace. The related mathematical framework is established. We also address some implementation issues such as how to choose a suitable starting matrix and design good stopping criteria. Numerical experiments are provided to illustrate that our method is stable and efficient.

研究の動機と目的

• 元のFEASTアルゴリズムが非エルミート型一般固有値問題で失敗することを解消すること。
• 複素平面内の指定された領域内に存在する固有値を計算する安定的かつ正確な固有値ソルバーを開発すること。
• 非エルミート系における輪郭積分に基づく固有値解法の数学的枠組みを確立すること。
• すべての希望される固有値が捕捉されることを保証する停止基準を提供すること。
• CIRR や MATLAB の eig といった既存手法に比べ、特定固有値計算において数値的性能を向上させること。

提案手法

• 指定された領域内に存在する固有空間を含む部分空間を形成するために、輪郭積分を構築する。
• 元のFEASTで用いられるレイリー・リッツ法に代わり、適切に選ばれたテスト部分空間を用いた斜交射影を採用し、希望する固有ペアを抽出する。
• 抽出された部分空間内で一般固有値ソルバーを用いて、希望する固有ペアを正確に計算する。
• 輪郭内部の固有値数の上界を推定する手法を導出し、アルゴリズムのパラメータ設定を支援する。
• 相対残差ノルムに基づく適応的停止基準を実装し、収束性と完全性を保証する。
• 収束性と安定性を向上させるために、適切な初期行列の選択戦略を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非エルミート型一般固有値問題に一般化されたFEASTアルゴリズムは、安定性と正確性を維持できるか。
• RQ2 レイリー・リッツ法と比較して、斜交射影は非エルミート系における固有ペア抽出をどのように改善できるか。
• RQ3 輪郭内部のすべての固有値が捕捉されることを保証する有効な停止基準は何か。
• RQ4 精度と計算コストの観点から、Block_CIRR や MATLAB の eig と比較して本手法はどのように性能を発揮するか。
• RQ5 安定した性能を発揮するための実装上の重要な考慮事項（初期行列の選択や条件数の影響など）は何か。

主な発見

• 提案手法は、非エルミート型一般固有値問題において、与えられた輪郭内部のすべての固有値を正確に計算できることを示した。
• 数値実験の結果、MATLAB の eig 関数よりも高い精度を達成しており、小規模から中規模な問題では相対誤差が約 10^-15 のオーダーであった。
• 大規模問題（例：サイズ 4800）においても、領域内に存在する 169 個の固有値を相対誤差 5.10×10^-8 で正しく計算でき、強固な性能を示した。
• 特定の固有値集合のみが必要な場合、eig よりも著しく高速であり、eig が全スペクトルを計算する場合ですら、速度向上が観察された。
• Block_CIRR と比較して、本手法は特に悪条件や特異な B 行列を有する場合に、より正確で安定しているが、1 回の反復あたりの右辺数が多いため、CPU 時間はやや長くなる。
• アルゴリズムは容易に並列化可能であり、すべてのテスト問題で 10 回未満の反復で収束に至った。これは高速な収束性を示している。