[論文レビュー] A Fedosov Star Product of Wick Type for Kähler Manifolds

Martin Bordemann, Stefan Waldmann|ArXiv.org|May 8, 1996

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、標準的なWeyl型の星積を保存する正則および反正則微分構造を保つように、Kähler多様体上でFedosov型の手続きを用いてWick型の星積を構成する。主な貢献は、このような星積の存在を直接示すために、修正されたFedosov構成を用いたものであり、双微分作用素が第一引数を正則方向に、第二引数を反正則方向に微分することを保証する。

ABSTRACT

In this letter we compute some elementary properties of the Fedosov star product of Weyl type, such as symmetry and order of differentiation. Moreover, we define the notion of a star product of Wick type on every Kähler manifold by a straight forward generalization of the corresponding star product in $\mathbb C^n$: the corresponding sequence of bidifferential operators differentiates its first argument in holomorphic directions and its second argument in antiholomorphic directions. By a Fedosov type procedure we give an existence proof of such star products for any Kähler manifold.

研究の動機と目的

• 平坦な $\mathbb{C}^n$ の場合に、正則および反正則引数を別々に微分する作用素が働くように、Kähler多様体上でWick型の星積を確立すること。
• 漸近展開や解析的量子化スキームに依存せずに、このような星積の直接的で幾何的な存在証明を提供すること。
• Fedosov構成を修正することで、曲率および接続条件を変更することにより、Wick型の星積を生成できることを示すこと。
• 得られる星積が結合的であり、双微分作用素において $r$ 階のものであり、正則／反正則微分を尊重することを証明すること。

提案手法

• Weyl代数束 $\mathcal{W} \otimes \Lambda$ 上で $\hbar$-変形された繊維ごとのWeyl積 $\circ'$ を用いて、修正された星積 $*'$ を定義することで、Fedosov構成を適応する。
• $\mathcal{W} \otimes \Lambda$ 上に接続 $\nabla$ を定義し、曲率 $R$ を用いて、量子化写像 $\tau'$ を再帰的に定義する。
• 星積を $f *' g = \pi^{(0,0)}_s(\tau'(f) \circ' \tau'(g))$ と定義する。ここで $\pi^{(0,0)}_s$ はスカラー部への射影である。
• 接続の性質 $\nabla^2 = \frac{i}{\hbar}[R, \cdot]$ を用い、$R$ が $(1,1)$ 型となるように選ぶことで、Kähler構造と整合性を持つようにする。
• 再帰的構成により、正則関数 $f$ に対して $\tau'(f)$ が反正則対称成分を持たず、逆に反正則関数に対しては正則成分を持たないことを、帰納法を用いて証明する。
• 星積 $*'$ の結合性と $\circ'$ の構造を活用し、$M'_r(f,g)$ が $f$ のみを正則方向に、$g$ のみを反正則方向に微分することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のKähler多様体上で、Fedosov型の手法を用いてWick型の星積を構成できるか？
• RQ2 得られる星積が第一引数を正則方向に、第二引数を反正則方向に微分するようにするためには、曲率および接続が満たすべき条件は何か？
• RQ3 修正されたFedosov構成は、結合性を保ちつつ、Wick型の微分構造をどのように維持するのか？
• RQ4 星積展開における双微分作用素 $M'_r$ の正確な階数と型は何か？
• RQ5 星積は必要な実性および対称性公理を満たすか。特に $\overline{M'_r(f,g)} = (-1)^r M'_r(\bar{g}, \bar{f})$ が成り立つか？

主な発見

• 修正されたFedosov手順によって構成された星積 $*'$ はWick型である：$M'_r(f,g)$ は $f$ のみを正則方向に、$g$ のみを反正則方向に微分する。
• 双微分作用素 $M'_r$ は $r$ 階であることが確認され、$*'$ がVey型の星積であり、所望の形式的変形性質を満たすことが示された。
• 正則関数 $f$ および反正則関数 $g$ に対して、局所的に $h *' f = hf$ および $g *' h = gh$ が成り立つ。これは、通常順序の性質を確認するものである。
• 証明は帰納法に依拠しており、正則関数 $f$ に対して $\pi^{(0,p)}_s \tau'(f) = 0$（$p > 0$）が成り立つこと、つまり第一引数に反正則微分が現れないことを保証する。
• 星積 $*'$ の結合性が、$M'_r$ の第一引数に正則微分しか現えないことを示すために、多項式テスト関数を用いた背理法による証明が不可欠である。
• 曲率 $R$ は $(1,1)$ 型に選ばれ、Kähler構造と整合性を持ち、星積における望ましい微分行動を実現する。