[論文レビュー] A Few More Quadratic APN Functions

Carl Bracken, Eimear Byrne+2 more|ArXiv.org|Apr 30, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$k$ が 3 で割り切れないときの $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上に、2 つの新しい無限族の二次的 Almost Perfect Nonlinear (APN) 関数を提示する。既存の家族を一般化する。計算的不変量（例：delta 2-ランク、最小重量語の組み合わせ論）を用い、Magma を用いたコード同型性テストにより、これらの関数がすべて既知の APN 関数と CCZ 同型でないことが証明され、$n=12$ 以降において新規性が確立された。

ABSTRACT

We present two infinite families of APN functions where the degree of the field is divisible by 3 but not 9. Our families contain two already known families as special cases. We also discuss the inequivalence proof (by computation) which shows that these functions are new.

研究の動機と目的

• $k$ が 3 で割り切れない $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上に、新しい二次的 APN 関数の族を構成すること。
• これらの関数が、単項式および以前に構成された家族を含め、いかなる既知の APN 関数とも CCZ 同型でないことを示すこと。
• 単項式および二項式の族に限らない APN 関数の分類を拡張すること。
• 理論的手法が失敗する場合の CCZ 同型性の検証のための計算フレームワークを提供すること。
• 新しい族が既存のもの（例：家族 1, 5, 6）を特殊ケースとして一般化するが、CCZ 同型性の下では依然として別個のものであることを示すこと。

提案手法

• 四項式形：$F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$ を提案。$k$, $s$, $u$, $v$, $w$ に関する制約を設ける。
• 微分均一性条件を用いる：すべての $p,q \in \mathbb{F}_{2^n}$、$q \neq 0$ に対して、$f(x+q)+f(x) = p$ は高々 2 個の解を持つことにより、APN 性を確認する。
• 同型基準を適用：2 つの関数が CCZ 同型であるとは、入出力ベクトルから構築されたパリティーチェック行列を用いて得られる関連する二進コードが $\mathbb{F}_2$ 上で同型であるときである。
• Magma を用いて、delta 2-ランク や最小重量コード語の組み合わせ的構造といった不変量を計算・比較し、CCZ 同型性の不成立を検出する。
• $n=12$（$k=4$）に対してバックトラック探索と最小重量語への自己同型群作用を用いて同型性をテストする。
• 特に $u$ が原始的であり、$k$ が 3 で割り切れないことを利用して、ある代数的式が 7 乗数にはなり得ないことを示し、$\Delta(x)=0$ の解が $\mathbb{F}_{2^k}$ 内にあることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $3 \nmid k$ のとき、$\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上に新しい無限族の二次的 APN 関数が存在するか？
• RQ2 これらの新しい族が、すべての既知の APN 関数と CCZ 同型でないことが示せるか？
• RQ3 新しい族が、既存の族（例：二項式、三項式、四項式 APN 関数）を一般化するか？
• RQ4 コード同型性テストが非効率な場合、delta 2-ランク や最小重量語構造といった計算的不変量が、CCZ 同型でない APN 関数を区別できるか？
• RQ5 関数 $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$ が、提示された制約のもとで本当に APN か？

主な発見

• 本稿では、$3 \nmid k$ のとき、$\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上に、$k$, $s$, $u$, $v$, $w$ のパラメータ制約を明示した 2 つの新しい無限族の二次的 APN 関数を構成した。
• 四項式族（家族 7）は、二項式（家族 1）、三項式（家族 5）、および別の三項式（家族 6）を特別な場合として含む。
• $n=12$ において、4 つの族（特別な場合を含む）が Magma を用いた計算により、お互いに CCZ 同型でないことが示された。
• $n=12$ における 4 つの関数に関連するコードの delta 2-ランクは、最初の 3 つは 7900、4 番目は 7816 であった。この差は同型性の不成立を証明した。
• コードの最小重量語構造を不変量として用い、delta 2-ランクを超える区分性を確認し、CCZ 同型性の不成立をさらに裏付けた。
• 著者らは、新しい関数が、単項式、二項式、三項式タイプを含め、いかなる既知の APN 関数とも CCZ 同型でないため、新規性が確立されたと結論づけた。