[論文レビュー] A Feynman-Kac Formula for Unbounded Semigroups

Barry Simon|ArXiv.org|Jul 27, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、すべての ε > 0 に対して V(x) ≥ -ε|x|² - C_ε を満たす有界でないポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素のフェイニマン・カック公式を確立する。半群 e^{-tH} が有界でないにもかかわらず、コンパクトに台を持つ L^2 関数に対する行列要素 〈φ, e^{-tH}ψ〉 は適切に定義されており、経路積分の公式によって与えられる。これは、フェイニマン・カック公式をより広いクラスの有界でないポテンシャルへと拡張するものである。

ABSTRACT

We prove a Feynman-Kac formula for Schrodinger operators with potentials V(x) that obey (for all ε> 0): V(x) \geq - ε|x|^2 - C_ε. Even though e^{-tH} is an unbounded operator, any ϕ, ψ\in L^2 with compact support lie in D(e^{-tH}) and is given by a Feynman-Kac formula.

研究の動機と目的

• シュレーディンガー作用素に有界でないポテンシャルが二次的に増加する場合に、フェイニマン・カック公式を拡張すること。
• ポテンシャル V(x) が下に有界でない場合に半群 e^{-tH} が有界でなくなるという課題に対処すること。
• コンパクトに台を持つ L^2 関数に対して、e^{-tH} の有界性にもかかわらず行列要素 〈φ, e^{-tH}ψ〉 が適切に定義されることを示すこと。
• この有界でない設定において、半群 e^{-tH} の厳密な経路積分表現を提供すること。
• 古典的フェイニマン・カック公式を有界なポテンシャルを超えて、物理的に重要な多くの有界でない相互作用を含むクラスへ一般化すること。

提案手法

• シュレーディンガー作用素 H = -Δ + V(x) の定義域の性質を解析するため、自己共役作用素の摂動論の使用。
• 与えられたポテンシャルの増加条件のもとで H の自己共役性を保証するカト・レリッヒの定理の適用。
• ブラウン運動の経路を用いた経路積分期待値としてのフェイニマン・カック公式の使用。
• コンパクトに台を持つ試験関数に対して、E[exp(-∫_0^t V(B_s) ds)] の有限性の確立。
• 経路積分表現の収束を正当化するためのトロッター積分公式の使用。
• コンパクトに台を持つすべての φ, ψ ∈ L^2 に対して、行列要素 〈φ, e^{-tH}ψ〉 が適切に定義され、経路積分に等しいことを証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フェイニマン・カック公式は、有界でないポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素へ拡張可能か？
• RQ2 コンパクトに台を持つ L^2 関数に対して、行列要素 〈φ, e^{-tH}ψ〉 が適切に定義されるためのポテンシャル V(x) の条件は何か？
• RQ3 H が有界でない場合に、半群 e^{-tH} を経路積分によって表現することは可能か？
• RQ4 ポテンシャルの二次的増加の下界 V(x) ≥ -ε|x|² - C_ε は、フェイニマン・カック積分の収束にどのように影響するか？
• RQ5 このようなポテンシャルに対して e^{-tH} の定義域は何か？ また、コンパクトに台を持つ L^2 関数とはどのように関係するか？

主な発見

• フェイニマン・カック公式は、すべての ε > 0 に対して V(x) ≥ -ε|x|² - C_ε を満たすポテンシャルを持つシュレーディンガー作用素に対して成り立つ。
• 任意の φ, ψ ∈ L^2 でコンパクトに台を持つものに対して、e^{-tH} が有界でないにもかかわらず、行列要素 〈φ, e^{-tH}ψ〉 は適切に定義される。
• ブラウン運動の下で、行列要素 〈φ, e^{-tH}ψ〉 は経路積分 E[ φ(B_0) ψ(B_t) exp(-∫_0^t V(B_s) ds) ] に等しい。
• ポテンシャルの増加条件により、指数関数的関数の積分可能性が保証され、経路積分が有限になる。
• この結果により、古典的フェイニマン・カック公式は有界なポテンシャルを超えて、二次的に制御された多くの有界でないポテンシャルを含むクラスへ拡張される。
• 証明はカト・レリッヒの定理と、有界でない作用素の文脈におけるトロッター積分公式の収束に依存している。