[論文レビュー] A Field of Generalised Puiseux Series for Tropical Geometry

Thomas Markwig|ArXiv.org|Sep 24, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 15被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、複素数体上の古典的プアヌー級数の一般化として、ℝを値群とする新たな一般化プアヌー級数の体𝕂を導入する。𝕂は代数的に閉じており、実値の付値から誘導されるノルムに関して完備であるため、トロピカル幾何学の自然な基底体となる。主な貢献は、トロピカル化において位相的閉包を必要としない、値群ℝを持つ体の構成である。

ABSTRACT

In this paper we define a field K of characteristic zero with valuation whose value group is the real numbers, and we show that this field of generalised Puiseux series is algebraically closed and complete with respect to the norm induced by its valuation. We consider this field to be a good candidate for the base field for tropical geometry.

研究の動機と目的

• 付値の値群がℝである一般化プアヌー級数の体を構成すること。
• トロピカル化において位相的閉包を必要としない自然な基底体を提供すること。
• 古典的プアヌー級数体（値群がℚ）と任意の整列順序を持つ補間級数の全体の体との間の自然な中間体を特定すること。
• 要素の台が有限または無限に発散する厳密に増加する実数列であるため、構造が制御可能でありながら、完全な実数値付値を保つ体を定義すること。

提案手法

• ℝの厳密に増加する有界でない実数列（smiub）とℝのすべての有限部分集合の和集合として集合𝕄を定義する。
• A ∈ 𝕄 かつ a_α ∈ ℂ* である形式的級数 ∑_{α∈A} a_α t^α の集合として体𝕂を構成する。標準的な加法および乗法を備える。
• f ∈ 𝕂 に対して val(f) = min{α | a_α ≠ 0} と定義し、台の順序を拡張する。これにより |f| = exp(−val(f)) というノルムを誘導する。
• 係数がコンパクト区間上で安定することを用いて、𝕂内の任意のコーシー列がノルムに関して収束することを示し、完備性を証明する。
• ニュートン多角形とヘンゼル型近似を用いた帰納的リフトィングの議論により代数的閉包を確立し、𝕂内に任意の多項式の根が存在することを示す。
• R_val = {f ∈ 𝕂 | val(f) ≥ 0} が、極大イデアル ⟨t^α | α > 0⟩ を持つ、次元1の非ネーター的局域環であることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 値群がℝであり、代数的に閉じており、完備であるような一般化プアヌー級数の体を構成できるか？
• RQ2 このような体では、代数的多様体のトロピカル化が、位相的閉包を必要とせずに付値写像の像として正確に得られるか？
• RQ3 古典的プアヌー級数体と任意の整列順序を持つ一般化ローレンツ級数の全体の体との間に自然な中間体が存在するか？
• RQ4 このような体の付値環がどのような構造的性質を持つのか？

主な発見

• 代数的閉包性は、ニュートン多角形の分析とヘンゼル型近似に基づく帰納的リフトィングの議論により示された。
• ノルム |f| = exp(−val(f)) に関して𝕂は完備である。これは、コンパクト区間上での係数の安定性を用いて、任意のコーシー列が収束することを示すことで証明された。
• 𝕂の値群はℝであるため、(𝕂*)^n 内の多様体のトロピカル化は、付値写像の像と完全に一致し、位相的閉包を必要としない。
• 𝕂の付値環 R_val は、極大イデアル {t^α | α > 0} によって生成される、次元1の非ネーター的局域環である。
• ℂ over 𝕂 の超越次数は無限大である。これは、ℚ上線形独立なℝのαに対して t^α がℂ上代数的に独立であるためである。
• この構成は、特性0の任意の基本体へ一般化可能であり、完備性および代数的閉包性の結果はそのままで成立する。