[論文レビュー] A Field Theory of Knotted Solitons

Robert J. Finkelstein|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所的 $SU(2)\times U(1)$ 電弱対称性とねじれソリトンのグローバル $SU_q(2)$ 対称性を統一する場の理論を提案する。素粒子をトポロジカルなソリトン（ねじれたフラックスチューブ）として扱い、量子場を $SU_q(2)$-変形正規モードに展開することで、点粒子をねじれた構造に置き換え、変形パラメータに制約を課すことにより、標準模型のフェルミオン質量およびゲージボソン質量を再現する。

ABSTRACT

The conjecture that the elementary fermions are knotted flux tubes permit the construction of a phenomenology that is not accessible from the standard electroweak theory. In order to carry these ideas further we have attempted to formulate the elements of a field theory in which local SU(2) x U(1), the symmetry group of standard electroweak theory, is combined with global SU_q(2), the symmetry group of knotted solitons.

研究の動機と目的

• 素粒子を点粒子ではなくねじれソリトンとしてモデル化する場の理論フレームワークを構築すること。
• 標準電弱理論の局所的 $SU(2)\times U(1)$ 対称性と、ねじれソリトンのグローバル $SU_q(2)$ 対称性を統一すること。
• 標準場を $SU_q(2)$ の非可換表現を用いて変形することで、$[\text{局所的 } SU(2)\times U(1)] \otimes [\text{グローバル } U(1)]$ に対して不変なラグランジアンを構成すること。
• 変形パラメータと真空期待値に制約を課すことにより、ゲージボソンおよびフェルミオンの標準模型質量を再現すること。

提案手法

• ゲージ場およびヒッグス場の正規モードを、$SU_q(2)$-変形行列要素 $D^{j}_{mm'}(a,\bar{a},b,\bar{b})$ に置き換えることで、標準電弱ラグランジアンを変更する。
• $q$-変形は非可換代数により定義され、$ab = qba$、$a\bar{a} + b\bar{b} = 1$、$q_1 = q^{-1}$、および $\langle n\rangle_1 = (q_1^{2n} - 1)/(q_1^2 - 1)$ を満たす。
• 理論は $[\text{局所的 } SU(2)\times U(1)] \otimes [\text{グローバル } U(1)]$ に対して不変に構築され、$U_a D^{j}_{mm'} = e^{iQ_a \varphi_a/k} D^{j}_{mm'}$ により $D^{j}_{mm'}$ にゲージ変換が誘導される。ここで $Q_a \propto m + m'$ である。
• フェルミオンおよびゲージボソンの質量は、$\langle 0| \bar{D}_\nu D^\nu |0\rangle$ および $\langle 0| \bar{D}_\nu \bar{\tau}_k \tau_k D_\nu |0\rangle$ の真空期待値から導出され、$k = +, -, 3$ のとき $I_{kk}/I = 1$ の正規化制約が課される。
• ヒッグス質量項は $\bar{L} \varphi R + \bar{R} \bar{\varphi} L$ に変更され、ここで $L$、$R$、および $\varphi$ は外部の標準模型表現と内部の $SU_q(2)$ ソリトン状態のテンソル積である。
• フェルミオン質量は $m_n(w,r) = \rho(w,r) \langle n| \bar{D}^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} D^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} |n\rangle$ として計算され、ここで $D^{3/2}$ は $q$-変形行列要素である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準模型のゲージおよびヒッグス系は、$SU_q(2)$ 変形を用いてねじれソリトン構造に一貫して拡張可能か？
• RQ2 $q$-変形された正規モードが、ゲージボソンおよびフェルミオンの質量スペクトルにどのように影響するか？
• RQ3 観測された $W$、$Z$、およびフェルミオン質量を再現するためには、変形パラメータ $q$ および真空パラメータ $\beta$ にどのような制約が必要か？
• RQ4 局所的 $SU(2)\times U(1)$ フレームワークに非可換な $SU_q(2)$-変形場を導入した場合、ゲージ不変性はどのように保たれるか？
• RQ5 $W^\pm$ および $Z$ の結合構造の $q$-変形から、ワインバーグ角を再現できるか？

主な発見

• 正規化制約 $I_{kk}/I = 1$ を課したとき、ゲージボソン質量項は $\partial_\mu \bar{\rho} \partial^\mu \bar{\rho} + g^2 \bar{\rho}^2 [W_+^\mu W_{+\mu} + W_-^\mu W_{-\mu} + \frac{1}{\cos^2\theta} Z^\mu Z_\mu]$ として再現される。
• $|c_-|^{-2} = |\beta|^6 \prod_{t=1}^3 (1 - q_1^{2t} |\beta|^2)$ は、真空期待値 $\langle 0| b^3 \bar{b}^3 \bar{a}^3 a^3 |0\rangle / \langle 0| b^3 \bar{b}^3 |0\rangle$ から導出され、$q$ および $\beta$ を用いて $W^+$ の結合を固定する。
• $W^-$ の結合係数は $|c_+|^{-2} = |\beta|^6 \prod_{t=0}^2 (1 - q^{2t} |\beta|^2)$ であり、明示的な $q$-依存性を示す。
• $Z$-ボソン結合は $|c_3|^{-2} = [f(|\beta|^2)]^2$ により決定され、ここで $f(\bar{b}b) = D^3_{oo}$ は $SU_q(2)$ 表現からの $q$-変形多項式である。
• フェルミオン質量式 $m_n(w,r) = \rho(w,r) \langle n| \bar{D}^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} D^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} |n\rangle$ が導出され、質量がソリトンの量子数および $q$-変形と関連づけられる。
• ワインバーグ角は $\tan\theta = g_o/g$ により再現され、$W^\pm$ および $Z$ の結合の $q$-変形構造と整合的である。