[論文レビュー] A finite difference approximation of a two dimensional time fractional advection-dispersion problem

Carlos E. Mejía, Alejandro Piedrahita|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可変係数を伴う2次元時間分数階移流拡散方程式を解くための暗黙の有限差分スキームを提示する。分数階微分はCaputo型であり、拡散項は非発散型形式をとる。本手法は、係数関数の有界性に関する弱い仮定の下で、一貫性、無条件安定性、収束性が保証され、数値実験により、さまざまな分数階および拡散係数に対して空間で2次、時間で1次収束が確認された。

ABSTRACT

Time fractional advection-dispersion equations arise as generalizations of classical integer order advection-dispersion equations and are increasingly used to model fluid flow problems through porous media. In this paper we develop an implicit finite difference method to solve a two-dimensional initial boundary value problem for the linear time fractional advection-dispersion equation with variable coefficients on a bounded domain. Consistency, stability and convergence of the method are proved in detail and the numerical experiments offer a good insight into the quality of the obtained approximations.

研究の動機と目的

• 地下水における汚染物質移動をモデル化するための頑健な数値法を開発すること。
• 非発散型形式の拡散項とCaputo時間分数階微分を扱える暗黙の有限差分スキームを構築すること。
• 係数関数の有界性に関する弱い仮定の下で、提示されたスキームの一貫性、無条件安定性、収束性を厳密に証明すること。
• 一般化可能で計算的に効率的な行列フレームワークを提供すること。
• さまざまな分数階および拡散係数に対して、正確な解を用いた包括的な数値実験によりスキームを検証すること。

提案手法

• Caputo時間分数階微分のL1近似を用いた暗黙の有限差分スキームを構築した（詳細は[6]にて）。
• 空間的移流項および拡散項には中心差分を適用し、可変係数a(x,y,t)、b(x,y,t)、c(x,y,t)、d(x,y,t)を含めた。
• 均等な長方形グリッド上で、空間ステップΔx、Δyおよび時間ステップΔtを用い、各時間ステップで線形方程式系を解くことで解を時間発展させた。
• 得られる線形方程式系を効率的に構築・解法するための行列ベースの計算フレームワークを開発し、さまざまな問題への一般化を可能にした。
• エネルギー法を用いて安定性および収束性を解析し、係数関数の有界性およびL1スキームの性質に依存する証明を実施した。
• 3つの数値例に本手法を適用した：1つは滑らかな正確解を有する例、残り2つは変動する拡散係数および分数階を有する例であり、スケーラビリティを検証した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変係数を伴う2次元時間分数階移流拡散方程式（非発散型形式）に対して、無条件安定かつ収束性を有する有限差分スキームを構築可能か？
• RQ2 分数階α ∈ (0,1) および変動する拡散係数に対して、スキームの収束度はどのように変化するか？
• RQ3 提示された行列ベースのフレームワークは、さまざまな境界条件および源項条件に対し、効率的かつ一般化可能な実装を可能にするか？
• RQ4 拡散係数が非常に小さい場合、すなわち退化放物型領域に近づく極限において、本スキームはどのように動作するか？
• RQ5 正確な解が存在しない状況において、分数階αの値が解のプロファイルに与える影響は何か？

主な発見

• 提示された有限差分スキームは、係数関数の有界性に関する弱い仮定の下で、一貫性、無条件安定性、収束性が保証された。
• 数値実験により、すべてのテストされた分数階α = 0.1、0.5、0.9に対して、空間で2次、時間で1次収束が確認された。
• 滑らかな解を有する例4.1では、メッシュを細かくするに従い、空間収束度が2.0に近づき、時間収束度が1.0に近づくことが確認され、理論的期待と整合した。
• 非常に小さな拡散係数ε = 1e-5を有する例4.2では、スキームが安定した収束行動を示し、ほぼ退化する状況でも頑健であることが示された。
• 正確な解が存在しない例4.3では、計算された解が分数階αに連続的に依存しており、t = 1における解がα = 0.3からα = 0.9にかけて滑らかに変化することが観察された。
• 行列フレームワークにより、効率的な実装が可能であり、過去の逆源問題の計算でも再利用され、実用的有用性が確認された。