[論文レビュー] A Finite Element Framework for Option Pricing with the Bates Model

Edie Miglio, Carlo Sgarra|ArXiv.org|Dec 16, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ジャンプを伴うバーツの確率的ボラティリティモデルにおけるヨーロピアン・オプションの価格設定のための有限要素法（FEM）を提示する。価格設定問題は、放物型の積分微分方程式（PIDE）として定式化される。この手法は高い精度と頑健性を達成しており、数値結果ではベンチマークとなる高速フーリエ変換（FFT）手法と非常に一致しており（0.1%未満の偏差）、ジャンプ・ドリフトの動的特性下での複雑なオプション価格設定に有効であることが検証された。

ABSTRACT

In the present paper we present a finite element approach for option pricing in the framework of a well-known stochastic volatility model with jumps, the Bates model. In this model the asset log-returns are assumed to follow a jump-diffusion model where the jump component consists of a Levy process of compound Poisson type, while the volatility behavior is described by a stochastic differential equation of CIR type, with a mean-reverting drift term and a diffusion component correlated with that of the log-returns. Like in all the Levy models, the option pricing problem can be formulated in terms of an integro-differential equation: for the Bates model the unknown F(S, V, t) (the option price) of the pricing equation depends on three independent variables and the differential operator part turns out to be of parabolic kind, while the nonlocal integral operator is calculated with respect to the Levy measure of the jumps. In this paper we will present a variational formulation of the problem suitable for a finite element approach. The numerical results obtained for european options will be compared with those obtained with different methods.

研究の動機と目的

• バーツモデルにおけるオプション価格設定に生じる偏微分積分方程式（PIDE）を解く安定的かつ高精度な有限要素法（FEM）の開発を目的とする。
• リーヴィーのジャンプと確率的ボラティリティに起因する非局所的積分作用素を有する3次元PIDEを数値的に解くという課題に対処することを目的とする。
• 有限要素離散化に適した変分式を提供し、柔軟で適応的な空間近似を可能とすることを目的とする。
• ヨーロピアン・オプションのさまざまなパrameterセットに対して、確立されたFFTベースの手法と照合して、提案されたFEMアプローチの有効性を検証することを目的とする。
• 自由境界問題を介して、この手法をアメリカン・オプション価格設定へと拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• 著者らは、バーツモデルにおけるオプション価格を支配するPIDEの変分式を導出し、ガレルキン有限要素法に適した弱形式に変換する。
• 空間領域は、非構造化三角形メッシュ（2634要素、1398ノード）を用いた区分的多項式有限要素で離散化される。
• 時間離散化には、PIDEの放物型成分の安定性を保証するための陰解法が用いられる。
• 複合ポアソン・ジャンプに起因する非局所的積分作用素は、リーヴィー測度上での数値積分則を用いて近似される。
• 得られる線形方程式系は反復的に解かれるが、この手法は多様なパrameter領域において効率的かつ頑健であるように設計されている。
• 本手法は、満期が3年以内で、ストライク価格が80から120のヨーロピアン・コール・オプションに対してテストされた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプと確率的ボラティリティを伴うバーツモデルに生じるPIDEに対して、有効に定式化・実装可能な有限要素法（FEM）が構築可能か？
• RQ2 ヨーロピアン・オプション価格設定において、FEMの精度と収束性はベンチマークとなるFFT手法と比べてどうか？
• RQ3 特にボラティリティの拡散係数（θ）、相関係数（ρ）、ジャンプ強度（λ）といった主要なモデルパラメータが、インプライド・ボラティリティ・サーフェスに与える影響は何か？
• RQ4 バーツモデルにおけるオプション価格設定に際し、FEMアプローチの計算効率はどの程度か？
• RQ5 有限要素フレームワークは、同一のPIDEを自由境界問題として定式化することで、アメリカン・オプション価格設定へと拡張可能か？

主な発見

• 有限要素法は、テストされたパラメータセット全体でFFT結果と極めて良好に一致しており、最大相対偏差が0.1%未満であることが確認された。
• この手法は、特に短期満期および負の相関（ρ）の場合に顕著なボラティリティ・スメールとスケューの特徴を的確に捉えている。
• パラメータセットS₂およびS₃では、ボラティリティ・サーフェスに顕著なスケューが観察され、S₁およびS₄ではそのスケューが顕著でない。これは、拡散係数θおよび相関係数ρに敏感であることを示している。
• 本手法は広範なパラメータ範囲において頑健であり、4つの異なるキャリブレーション・セット（S₁～S₄）において一貫した性能を示した。
• 計算コストは中程度であり、1オプション価格あたり約3分、1つの完全なボラティリティ・サーフェス作成には約3時間（2GHzデュアルコアプロセッサ、1MB RAM）を要した。
• 有限要素アプローチは、アメリカン・オプション価格設定への拡張に強く有望であり、同じPIDEを自由境界問題として定式化することで実現可能である。