[論文レビュー] A finite element implementation of surface elasticity at finite strains using the deal.II library

Andrew McBride, Ali Javili+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2015

Elasticity and Material Modeling参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、オープンソースのdeal.IIライブラリを用いて、有限変形下における表面弾性の完全非線形有限要素法実装を提示する。全ラグランジュ形式を採用し、体積領域および表面領域からの正確な接線寄与を含む。この実装により、有限変形領域における表面効果の高精度なモデル化が可能となり、ベンチマークによる検証と、ナノスケール応用のための完全なソースコードの公開を実現した。

ABSTRACT

The potentially significant role of the surface of an elastic body in the overall response of the continuum can be described using the mature theory of surface elasticity. The objective of this contribution is to detail the finite element approximation of the underlying governing equations (both in the volume and on its surface) and their solution using the open-source finite element library deal.II. The fully-nonlinear (geometric and material) setting is considered. The nonlinear problem is solved using a Newton--Raphson procedure wherein the tangent contributions from the volume and surface are computed exactly. The finite element formulation is implemented within the total Lagrangian framework and a Bubnov-Galerkin spatial discretization of the volume and the surface employed. The surface is assumed material. A map between the degrees of freedom on the surface and on the boundary of the volume is used to allocate the contribution from the surface to the global system matrix and residual vector. The deal.II library greatly facilitates the computation of the various surface operators, allowing the numerical implementation to closely match the theory developed in a companion paper. Key features of the theory and the numerical implementation are elucidated using a series of benchmark example problems. The full, documented source code is provided.

研究の動機と目的

• 既存の数値的手法が無限小変形に制限されていることに対応し、有限変形領域における表面弾性の有限要素法実装を開発すること。
• 全ラグランジュフレームワークとバブノフ・ガレルキン空間離散化を用いて、幾何学的および材料的整合性を持つ完全非線形で整合的な定式化を提供すること。
• 表面と体積の寄与を正確に組み合わせ、正確な接線行列計算を用いることで、ナノ構造における表面効果の高精度なモデル化を可能にすること。
• 実装をオープンソースとして完全にドキュメント化し、TBBを用いた共有メモリ並列化をサポートすることで、複雑な幾何形状における性能を向上させること。
• deal.IIのcodimension-one機能を活用して、理論的表面弾性と実用的数値シミュレーションの橋渡しをすること。

提案手法

• 有限要素法の定式化は全ラグランジュフレームワークに基づき、体積領域および表面領域の両方をバブノフ・ガレルキン法による空間離散化を実施する。
• 表面寄与は、自由度のマッピングにより体積の境界に写像され、表面自由度と体積自由度の間で一貫した結合が可能になる。
• 非線形方程式系は、体積および表面の弱形式から正確に計算された接線寄与を用いたニュートン・ラプソンスキームにより解かれる。
• deal.IIライブラリのcodimension-oneルーチンを用いて、3次元空間に埋め込まれた2次元多様体上の表面幾何および演算子を処理する。
• 表面は、ネオ・フック型の自由エネルギーを持つ材料膜としてモデル化され、流体的挙動を示すために表面張力項が拡張して含められている。
• 共有メモリパラダイムにおけるTBBライブラリを用いて並列化を実現しており、分散メモリ拡張の検討も進行中である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限変形領域における表面弾性を、整合的な有限要素法定式化を用いて高精度に実装する方法は何か？
• RQ2 正確な接線行列計算が、非線形表面弾性問題における収束性と安定性を確保する上で果たす役割は何か？
• RQ3 deal.IIライブラリのcodimension-one機能を活用して、3次元連続体における複雑な表面幾何をどのようにモデル化できるか？
• RQ4 メッシュの細分化に伴い表面体積比が増加するにあたり、生じる数値的課題は何か。それらはどのように緩和できるか？
• RQ5 複雑な表面トポロジーを有する現実的なナノ構造のシミュレーションにおいて、実装の並列化はどの程度効果的か？

主な発見

• 正確な接線寄与を用いた実装により、表面張力および曲率依存変形を含むベンチマーク問題を用いた検証を通じて、有限ひずみ下の表面効果を高精度に捉えることに成功した。
• ニュートン・ラプソンスキームにおける正確な接線寄与の使用により、二次収束性と非線形反復のロバスト性が保証された。
• deal.IIのcodimension-one機能により、3次元空間に埋め込まれた複雑な曲面でさえ、正確かつ効率的な表面演算子の計算が可能となった。
• 完全でドキュメント化されたソースコードが公開されており、再現性の確保および新しい材料モデルや応用への拡張を容易にした。
• TBBによる並列化により、大規模問題における性能が顕著に向上し、分散環境におけるさらなるスケーリングの可能性も示された。
• 本フレームワークは、複雑な表面幾何を持つ現実的なナノ構造のシミュレーションが可能であり、学術的ベンチマークをはるかに超える実用的有用性を示した。