[論文レビュー] A finite element method for Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs

Wei Gong, Michael Hinze+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、凸多角形領域上の放物型PDEに従うDirichlet境界制御問題に対して、空間方向に連続な一次補間有限要素法、時間方向にdG(0)を用い、境界制御のための空間時間$L^2$-射影を適用した有限要素法を提案する。主な貢献は、状態変数および制御変数の両方について、最適な事前$L^2$-誤差評価$ h^{1/2} + k^{1/4} $を導出したことである。数値例によりその有効性が検証されている。

ABSTRACT

Finite element approximations of Dirichlet boundary control problems governed by parabolic PDEs on convex polygonal domains are studied in this paper. The existence of a unique solution to optimal control problems is guaranteed based on very weak solution of the state equation and $L^2(0,T;L^2(Γ))$ as control space. For the numerical discretization of the state equation we use standard piecewise linear and continuous finite elements for the space discretization of the state, while a dG(0) scheme is used for time discretization. The Dirichlet boundary control is realized through a space-time $L^2$-projection. We consider both piecewise linear, continuous finite element approximation and variational discretization for the controls and derive a priori $L^2$-error bounds for controls and states. We finally present numerical examples to support our theoretical findings.

研究の動機と目的

• 放物型PDEに従うDirichlet境界制御問題の解の存在および一意性を、非常に弱い解の概念と$L^2(0,T;L^2(\tilde{\Gamma}))$制御空間を用いて確立すること。
• 空間方向に標準的な連続な一次補間要素、時間方向にdG(0)を用いた状態方程式の完全離散化有限要素スキームの開発。
• 空間時間$L^2$-射影によるDirichlet境界制御の近似により、安定性および一貫性を保証すること。
• 状態および制御変数の両方について、一次補間有限要素法および変分的離散化の事前誤差推定の分析。
• 凸多角形領域および滑らかな領域における理論的結果の数値実験による検証。

提案手法

• 空間方向に適合的で連続的な一次補間有限要素法、時間方向に不連続ガレルキン法（dG(0)）を用いて状態方程式を解く。
• 境界条件の弱い強制を可能にするために、離散有限要素空間上への空間時間$L^2$-射影を介してDirichlet境界制御を実装する。
• 2つの制御離散化戦略を採用する：(1) 一次補間有限要素法による近似、(2) 隣接状態を用いた変分的離散化。
• 最適制御問題は、状態および制御の$L^2$-ノルムと正則化パrameter$\alpha > 0$を含むTikhonov正則化項を有するトレーキング型問題として定式化される。
• 安定性および双対性の議論を用いて、状態および制御変数の両方について、$L^2(0,T;L^2)$-ノルムにおける事前誤差推定を導出する。
• 解析は、非常に弱い解の正則性および放物型PDEの構造を活用した凸多角形領域上で行われる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 放物型PDEに従うDirichlet境界制御問題の有限要素近似の$L^2$-ノルムにおける収束速度は何か？
• RQ2 空間および時間離散化パラメータ$h$および$k$は、状態および制御変数の誤差にどのように影響するか？
• RQ3 この放物型設定において、一次補間有限要素法および変分的離散化スキームの両方について、最適な事前誤差評価を導出できるか？
• RQ4 境界制御の空間時間$L^2$-射影法は、標準的な有限要素法と比較して、精度および安定性の面で優れているか？
• RQ5 提案スキームは凸多角形領域および滑らかな領域の両方でどのように性能を発揮するか？また、数値結果は理論的収束速度を確認できるか？

主な発見

• 提案された有限要素法は、$L^2(0,T;L^2)$-ノルムにおいて、状態$y$および制御$u$の両方について、最適な事前$L^2$-誤差評価$ h^{1/2} + k^{1/4} $を達成する。
• 数値実験により理論的収束速度が確認された：制御$u$の空間収束次数は約1.25–1.36、状態$y$は1.7–1.8、時間収束次数は$u$および$y$で約0.95–1.0である。
• 変分的離散化アプローチは、制御の完全な有限要素離散化と同等の精度を示し、両者で類似した収束次数が観察された。
• 例5.3（単位円上）では、$h \to 0$の下で、完全離散化および変分的離散化の両方において、制御$u$の誤差が約1.36の収束次数を示した。
• 時間離散化誤差は、$u$および$y$の両方で約0.95–1.0の収束次数を示し、dG(0)を用いていながらも近似的に最適な時間収束が達成された。
• 隣接状態の誤差は約1.8–1.9の収束次数を示し、誤差解析フレームワークにおける双対問題近似の堅牢性を裏付けた。