[論文レビュー] A finite element method for the Monge-Ampère equation with transport boundary conditions

Ellya L. Kawecki, Omar Lakkis+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、最適輸送境界条件を伴う Monge-Ampère 方程式を解く非変分的有限要素法（NVFEM）を提示する。ニュートン・ラプソン線形化と勾配／ヘッセ行列回復を用いて最適収束を達成する。この手法は、分(piecewise)多項式近似において、L2およびH1ノルムで実証的最適収束率を達成し、光学およびメッシュ移動の数値実験により検証されている。

ABSTRACT

We address the numerical solution via Galerkin type methods of the Monge-Ampère equation with transport boundary conditions arising in optimal mass transport, geometric optics and computational mesh or grid movement techniques. This fully nonlinear elliptic problem admits a linearisation via a Newton-Raphson iteration, which leads to an oblique derivative boundary value problem for elliptic equations in nondivergence form. We discretise these by employing the nonvariational finite element method, which lead to empirically observed optimal convergence rates, provided recovery techinques are used to approximate the gradient and the Hessian of the unknown functions. We provide extensive numerical testing to illustrate the strengths of our approach and the potential applications in optics and mesh movement.

研究の動機と目的

• 完全非線形 Monge-Ampère 方程式に最適輸送境界条件を適用したガレルキン型有限要素法の開発。
• Monge-Ampère PDE のニュートン・ラプソン線形化に起因する非発散型楕円型方程式の解法の課題に対処する。
• 非変分的有限要素法と勾配・ヘッセ行列回復技術を用いて、安定的かつ高精度な数値解法の実現。
• 数値実験を通じて、幾何的光学および適応的メッシュ移動への応用可能性の提示。
• FEniCS などの標準的な有限要素パッケージを用いた、計算的に効率的かつ容易に実装可能な手法の提供。

提案手法

• 手法は、完全非線形 Monge-Ampère 方程式を、傾斜境界条件を伴う非発散型楕円型問題の系列に、ニュートン・ラプソン反復により線形化する。
• 線形化された問題の離散化に、非変分的有限要素法（NVFEM）を用いる。弱形式を避けることで、非構造化メッシュ上での適合近似が可能になる。
• 解の勾配およびヘッセ行列の再構成に、勾配およびヘッセ行列回復技術を適用する。これらは、輸送写像 ∇u の近似に不可欠である。
• 解およびその導関数のための分(piecewise)多項式有限要素空間（P1, P2, P3）を用い、回復技術により収束率が向上する。
• 境界条件は、凸性仮定の下で t(∂Ω) = ∂Υ と等価な輸送条件 ∇u(∂Ω) = ∂Υ により強制される。
• アプローチは FEniCS 有限要素パッケージを用いて実装されており、容易な適合性と高次元拡張が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガレルキン型有限要素法は、最適輸送境界条件を伴う Monge-Ampère 方程式に対して最適収束率を達成できるか？
• RQ2 勾配およびヘッセ行列回復は、非変分的有限要素スキームにおける最適収束率の回復にどの程度効果的か？
• RQ3 NVFEM は、最適輸送に起因する傾斜境界条件を伴う非線形楕円型問題に成功裏に適用可能か？
• RQ4 本手法は、幾何的光学およびメッシュ移動といった実用的応用において、どの程度の性能を示すか？
• RQ5 標準的な有限要素ソフトウェアを用いた場合、本手法は安定的かつ容易に実装可能か？

主な発見

• 勾配回復を適用した場合、P1, P2, P3 有限要素において、L2およびH1ノルムで最適収束率を達成し、H1およびL2誤差の観察収束次数は約1.8〜1.9である。
• 勾配回復なしでは、P1 要素に対して収束が非最適または収束しないことが判明し、回復技術の必要性が強調される。
• P2およびP3 要素では、ヘッセ行列および勾配近似の観察収束次数が最適に近く、それぞれ eoc 値は 1.85 および 1.93 である。
• 本手法は、画像処理におけるモニタ関数に基づくメッシュ生成に成功しており、ガスパール・モンジュのポートレート例で示されるように、質量輸送により均一メッシュが目的密度に適合する。
• 回復された勾配を用いた ∇u の正確な近似が可能であり、これは光学およびメッシュ適応の応用において極めて重要である。
• 計算フレームワークは公開されており、再現性が確保され、高次元等角要素への拡張が容易である。