[論文レビュー] A finite presentation for the hyperelliptic mapping class group of a nonorientable surface

Michał Stukow|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非可換な曲面への古典的理論を一般化して、非可換曲面のハイパーエリプティック写像類群の有限提示を与える。二重被覆を介した中心化子構成を用いて、明示的な生成子と関係式を導出し、これにより曲面の1次ホモロジー群に係数をとった1次ホモロジー群を計算する。その結果、$g \geq 3$ のとき、向きを保つ部分群では $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$、全ハイパーエリプティック群では $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ が得られる。これらの結果は、可換な場合に既知の結果を非可換な設定に一般化するものである。

ABSTRACT

We obtain a simple presentation of the hyperelliptic mapping class group $M^h(N)$ of a nonorientable surface N. As an application we compute the first homology group of $M^h(N)$ with coefficients in $H_1(N;Z)$.

研究の動機と目的

• 非可換曲面へのハイパーエリプティック写像類群の概念を可換曲面から拡張すること。
• 閉じた非可換曲面 $N_g$ のハイパーエリプティック写像類群 $\mathcal{M}^h(N_g)$ に対する有限提示を提供すること。
• $\mathcal{M}^h(N_g)$ の1次ホモロジー群を $H_1(N_g;\mathbb{Z})$ に係数をとったものとして計算すること。
• 非可換な場合と可換な場合との間の構造的類似性を確立すること、特に群の提示およびホモロジー不変量の観点から。

提案手法

• ハイパーエリプティック対合 $\varrho$ の像を含む写像類群 $\mathcal{M}(N_g)$ の中心化子としてハイパーエリプティック写像類群 $\mathcal{M}^h(N_g)$ を定義し、可換曲面の二重被覆を介して導出する。
• 可換な場合から非可換な設定へ構造を持ち上げるために、$S_{g-1}$ 上の対合 $j$ を用いた中心化子構成を用いる。
• デーンねじりとハイパーエリプティック対合に対応する生成子を用いて、$\mathcal{M}^h(N_g)$ 及びその向きを保つ部分群 $\mathcal{M}^{h+}(N_g)$ の有限提示を導出する。
• 群環 $\mathbb{Z}[\mathcal{M}^h(N_g)]$ が $H_1(N_g;\mathbb{Z})$ に作用する関係を分析することでホモロジーを計算し、1次ホモロジー群の torsion を焦点に当てる。
• ハイパーエリプティック対合 $\varrho$ を含む代数的関係を用いて、ホモロジーにおける生成子の位数を特定し、重複するものを排除する。
• 既知の可換な場合の結果（例えば、Wajnrybの提示）を、商写像 $\pi_j$ を通して非可換な文脈に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換曲面のハイパーエリプティック写像類群に対する有限提示は何か？
• RQ2 非可換曲面上のハイパーエリプティック写像類群の構造は、可換曲面の場合とどのように異なるか？
• RQ3 $H_1(N_g;\mathbb{Z})$ に係数をとった $\mathcal{M}^h(N_g)$ の1次ホモロジー群は何か？
• RQ4 ホモロジー群の生成子は torsion であるか。もしそうなら、その位数は何か？
• RQ5 ハイパーエリプティック群の提示は、可換な場合に既知の結果を回復または一般化するために利用可能か？

主な発見

• ハイパーエリプティック写像類群 $\mathcal{M}^h(N_g)$ は、可換な場合に既知の提示を拡張した明示的な生成子と関係式を有する有限提示を持つ。
• 向きを保つ部分群 $\mathcal{M}^{h+}(N_g)$ は、デーンねじりとハイパーエリプティック対合に対応する生成子を有する有限提示を持つ。
• $g \geq 3$ のとき、1次ホモロジー群 $H_1(\mathcal{M}^{h+}(N_g); H_1(N_g;\mathbb{Z}))$ は $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ に同型であり、ホモロジーに非自明な torsion が存在することを示している。
• 全ハイパーエリプティック群 $\mathcal{M}^h(N_g)$ に対しては、$H_1(N_g;\mathbb{Z})$ に係数をとった1次ホモロジー群が $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ に同型であり、追加の torsion 成分が存在することを示している。
• ハイパーエリプティック対合 $\varrho$ は関係式において中心的な役割を果たし、ホモロジー計算における重複する生成子の排除に寄与している。
• これらの結果は、既知の可換な場合の結果を一般化する：可換曲面では $H_1(\mathcal{M}^h(S_g); H_1(S_g;\mathbb{Z})) \cong \mathbb{Z}_2$ であるが、非可換な場合ではより大きな torsion 群が得られる。