[論文レビュー] A finitely presented ${E}_{\infty}$-prop II: cellular context

Anibal M. Medina-Mardones|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\tilde{\mathrm{S}}$ と表記される、関連するoperadが $E_\infty$-operad モデルである、有限生成のセルラーpropを構成する。$\tilde{\mathrm{S}}$ によって誘導される区間上の $E_\infty$-bialgebra 構造を用いて、単体的集合の幾何的実現に自然な $E_\infty$-coalgebra 構造を導出し、符号を除いてBarratt-EcclesおよびSurjection coalgebra 構造を回復する。この構成により、古典的な代数的構造のセルラー的・組合せ的な実現が得られる。

ABSTRACT

We construct, using finitely many generating cell and relations, props in the category of CW-complexes with the property that their associated operads are models for the $E_\infty$-operad. We use one of these to construct a cellular $E_\infty$-bialgebra structure on the interval and derive from it a natural cellular $E_\infty$-coalgebra structure on the geometric realization of a simplicial set which, passing to cellular chains, recovers up to signs the Barratt-Eccles and Surjection coalgebra structures introduced by Berger-Fresse and McClure-Smith. We use another prop, a quotient of the first, to relate our constructions to earlier work of Kaufmann and prove a conjecture of his. This is the second of two papers in a series, the first investigates analogue constructions in the category of chain complexes.

研究の動機と目的

• CW複体の圏における有限生成のセルラーpropを構成し、その関連するoperadが $E_\infty$-operad のモデルであることを示すこと。
• 単体的集合の正規化ホモロジーにおけるBarratt-EcclesおよびSurjection coalgebra 構造を、セルラー的・幾何的実現として与えること。
• Kaufmannの予想を証明することにより、prop $\mathcal{MS}$ が、そのセルラー鎖がSurjection operadと符号を除いて同型であるArc Surface propと同型であることを示すこと。
• 区間上に自然な $E_\infty$-bialgebra 構造を構成し、その構造から単体的集合の幾何的実現における $E_\infty$-coalgebra 構造を導出すること。

提案手法

• 生成セルと関係式を用いて、明確なホモトピー型を持つ、有限生成のセルラーprop $\tilde{\mathcal{S}}$ を提示する。
• セルラー鎖を用いて、$\tilde{\mathcal{S}}$ のセルラー鎖から、区間 $\mathrm{I} = [0,1]$ 上に $E_\infty$-bialgebra 構造を四つの主要な写像を用いて構成する。
• 区間の $E_\infty$-bialgebra 構造を用いて、任意の単体的集合の幾何的実現に自然な $E_\infty$-coalgebra 構造を誘導する。
• $\tilde{\mathcal{S}}$ から商prop $\mathcal{S}$ および $\mathcal{MS}$ を定義し、$\mathcal{MS}$ がArc Surface propと同型であることを示す。
• $\mathcal{MS}$ のセルラー鎖が符号を除いてSurjection operadと同型であることを示し、Kaufmannの予想を裏付ける。
• 入出力双対性を用いて、propにおける余積と積が、[Kau18] の形式的枠組みにおけるChas-Sullivan積とGoresky-Hingston余積に対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CW複体の圏における有限生成のセルラーpropを用いて、区間上に $E_\infty$-bialgebra 構造を構成できるか？
• RQ2 このような区間上の bialgebra 構造が、単体的集合の幾何的実現に自然な $E_\infty$-coalgebra 構造をどのように誘導するか？
• RQ3 Kaufmannが予想したように、prop $\mathcal{MS}$ はArc Surface propと同型であるか？
• RQ4 Barratt-EcclesおよびSurjection coalgebra 構造は、区間上の単一のセルラー的 $E_\infty$-bialgebra 構造から、符号を除いて回復可能か？
• RQ5 構築されたpropのセルラー鎖と、Surjection operadの代数的モデルとの間の明確な関係は何か？

主な発見

• $\tilde{\mathcal{S}}$ は生成セルと関係式を用いて有限生成であり、そのセルラー鎖は[MM20c]で導入された代数的propと同型である。
• $\mathcal{MS}$ に関連するoperadのセルラー鎖は、符号を除いてSurjection operadと同型であり、Kaufmannの予想が裏付けられた。
• 四つの写像を用いて、区間上に $E_\infty$-bialgebra 構造を構成し、その構造から任意の単体的集合の幾何的実現に自然な $E_\infty$-coalgebra 構造を誘導する。
• 正規化ホモロジーにおけるBarratt-EcclesおよびSurjection coalgebra 構造は、区間の $E_\infty$-bialgebra 構造から符号を除いて回復される。
• $\mathcal{MS}$ はArc Surface propと同型であり、そのセルラー鎖は、正規化された半単純Frobenius代数のHochschildコホモロジーに作用する。
• 入出力双対性により、propにおける余積と積は、[Kau18] の形式的枠組みにおけるChas-Sullivan積とGoresky-Hingston余積に対応する。