[論文レビュー] A finitely presented group of piecewise projective homeomorphisms

Yash Lodha, Justin Tatch Moore|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非可換自由部分群を含まない、有限生成・捩れなし・非アメーナブルな、実数直線上の区分的射影的ホメオモルフィズムのなす群を初めて提示する。群は3つの明示的な区分的射影的関数で生成され、モノドの手法の適応により非アメーナブルであることが示され、有限提示とトーリング図による表現が与えられる。

ABSTRACT

In this article we will describe a finitely presented subgroup of Monod's group of piecewise projective homeomorphisms of R. This in particular provides a new example of a finitely presented group which is nonamenable and yet does not contain a nonabelian free subgroup. It is in fact the first such example which is torsion free. We will also develop a means for representing the elements of the group by labeled tree diagrams in a manner which closely parallels Richard Thompson's group F.

研究の動機と目的

• 幾何的群論における長年の未解決問題を解消するため、非可換自由部分群を含まない有限生成・捩れなし・非アメーナブルな群を構成すること。
• 従来の例が捩れや帰納的構成に依存するのとは異なり、より明示的かつ解析可能な反例を提供する、同種の例の初の例を提示すること。
• トーリング群 F の構造を模倣する、ラベル付き木図による群元の組み合わせ的表現を構築すること。
• 3生成元・9関係式の有限提示を確立し、体系的な還元系を用いて無限提示との同値性を示すこと。

提案手法

• 無限大を固定する R 上の区分的射影的ホメオモルフィズムの群 H の部分群として、a(t) = t+1 および有理関数 b(t)、c(t) の3つの明示的生成元を用いて群を構成する。
• 各元が有限な2進木のペアと有限集合からのラベルをもつものとして、群元のラベル付き木図による表現を構築し、トーリング群 F の図式計算を一般化する。
• 標準形と高度な移動に基づく還元系を導入し、無限提示における語の正規化を可能とし、有限提示の導出を可能にする。
• 有限提示の証明は、群内で恒等元に評価される任意の語が、与えられた9つの関係式のみを用いて還元され、その系列が高度な移動と正規化ステップを経て恒等元に至ることを示すことにより、成立する。
• 非アメーナブル性は、モノドの手法を適応することで確立され、H に非可換自由部分群が存在しないことと、群の実数直線上の作用とその組み合わせ的構造の詳細な分析を組み合わせる。
• 主な技術的革新は、無限2進列への作用における非尾部同値性を示すために、有限2進列の再帰的構成を用いることであり、非自明な Y-語が恒等元に評価されないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成・捩れなし・非アメーナブルな群を、非可換自由部分群を含まない形で構成することは可能か？
• RQ2 従来の反例が用いた複雑な帰納的構成を避ける、明示的かつ具体的な提示が可能か？
• RQ3 トーリング群 F の構造を、同様の図式的表現を持つより広いクラスの区分的射影的群へ一般化可能か？
• RQ4 群内の語が恒等元に評価されるための条件は何か？そして、その条件を有限個の関係式で捉えることは可能か？

主な発見

• a(t) = t+1、b(t)、c(t) で生成される群 G₀ は、3生成元・9関係式の有限提示を持つ。これは、非可換自由部分群を含まない、捩れなし・非アメーナブルな群の初の明示的有限提示である。
• モノドの手法の適応により、群は非アメーナブルであることが示され、H（したがって G₀）に非可換自由部分群が存在しないことが保証される。
• トーリング群 F に類似したラベル付き木図による表現が可能であり、群元の組み合わせ的・視覚的解析が可能となる。
• 無限提示が、高度な移動と標準形に基づく正規化プロセスを用いて有限提示と同値であることが示され、9つの関係式が十分であることが証明される。
• 群内で恒等元に評価される語は、すべて与えられた9つの関係式のみを用いて還元され、恒等元に至ることを示す。これは、非自明な Y-語が、2進列への作用における非尾部同値性により、恒等元に評価されないことを示すことで証明される。