[論文レビュー] A finiteness theorem for the Brauer group of abelian varieties and K3 surfaces

Alexei N. Skorobogatov, Yuri G. Zarhin|ArXiv.org|May 13, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Q over で有限生成な体上におけるK3曲面およびアーベル多様体のブラウ어群に関する有限性定理を確立する。ガロアコホホロジー、エタールコホモロジー、および除数に関するタート予想を用いて、K3曲面に対して、ブラウ어群を底体のブラウエール群で割った商が有限であることを証明する。また、アーベル多様体に対しては、底変換のガロア不変部分群が、特性および torsion 成分に関する適切な条件下で有限であることを示す。

ABSTRACT

Let $k$ be a field that is finitely generated over the field of rational numbers and $Br(k)$ the Brauer group of $k$. Let $X$ be an absolutely irreducible smooth projective variety over $k$, let $Br(X)$ be the cohomological Brauer-Grothendieck group of $X$ and $Br_0(X)$ the image of $Br(k)$ in $Br(X)$. We write $Br_1(X)$ for the subgroup of elements in $Br(X)$ that become trivial after replacing $k$ by its algebraic closure. We prove that $Br(X)/Br_0(X)$ is finite if $X$ is a $K3$ surface. When $X$ is (a principal homogeneous space of) an abelian variety over $k$ then we prove that $Br(X)/Br_1(X)$ is finite.

研究の動機と目的

• Q over で有限生成な体上に定義されたK3曲面の底変換のガロア不変ブラウエール群の有限性を確立すること。
• 特性に関する適切な条件下で、アーベル多様体のブラウエール群を底体のブラウエール群で割った商が有限であることを証明すること。
• 数論的幾何の文脈において、K3曲面およびアーベル多様体を含む高次元多様体に対するブラウエール群の有限性に関する既知の結果を拡張すること。

提案手法

• ハイゼンシュタイン–セールスペクトル系列を用いて、多様体のブラウエール群とその幾何的ファイバーのガロアコホモロジーとを関連付ける。
• アーベル多様体上の除数に関するタート予想を応用し、ネロン–セベリ群とそのガロア作用を制御する。
• K3曲面およびアーベル多様体の $ε$-adic コホモロジー、特に $H^2_{εt}(-, μ_\ell)$ のガロアモジュール構造を分析する。
• ファルツィングスによって確立された $ε$-adic ガロア表現の半単純性を活用し、ブラウエール群を制御する。
• アーベル多様体の自己準同型のホッジ実現と $ε$-adic 実現の整合性を用いて、コホモロジー群内の torsion を分析する。
• 代数的閉包上でのK3曲面のピカール群が、rank が20以下である自由アーベル群であり、ガロア作用が有限であるという事実を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Q over で有限生成な体上に定義されたK3曲面のガロア不変部分群としてのブラウエール群は、有限か？
• RQ2 Q over で有限生成な体上に定義されたアーベル多様体に対して、そのブラウエール群が代数的閉包による底変換のブラウエール群への像は有限か？
• RQ3 K3曲面のブラウエール群の $ε$-primary 成分の有限性は、すべての素数 $\ell$ に対して成り立つか？
• RQ4 アーベル多様体上の除数に関するタート予想を用いて、K3曲面のブラウエール群の有限性を導くことができるか？
• RQ5 K3曲面のブラウエール群を底体のブラウエール群の像で割った群の構造はいかなるものか？

主な発見

• Q over で有限生成な体上に定義されたK3曲面のガロア不変部分群としてのブラウエール群は有限である。
• Q over で有限生成な体上に定義されたアーベル多様体で、特性が0である場合、ブラウエール群を底体のブラウエール群で割った商は有限である。
• 特性 $p \neq 2$ の場合、ブラウエール群の商の $p$-primary でない成分は有限である。
• タート予想（除数に関して）を仮定すれば、K3曲面のブラウエール群の $ε$-primary 成分は、すべての素数 $\ell$ に対して有限である。
• 幾何的ブラウエール群のガロア不変部分群の有限性の結果として、K3曲面のブラウエール群を底体のブラウエール群の像で割った群は有限である。
• 証明は、$ε$-adic ガロア表現の半単純性およびアーベル多様体上の除数に関するタート予想の妥当性に依存する。