[論文レビュー] A first-order Fourier integrator for the nonlinear Schrödinger equation on T without loss of regularity.

Yifei Wu, Fangyan Yao|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2020

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 32被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、トーラス上の一様次元立方非線形シュレーディンガー方程式に対する、最初の順序の明示的フーリエ積分法を導入する。高速フーリエ変換を用いた効率的な実装が可能であり、追加の正則性を要せず、任意の $\gamma > \frac{3}{2}$ に対して $H^\gamma$ で最初の順序収束を達成する。また、質量は $O(\Delta t^5)$ の誤差でほぼ正確に保存され、低正則性データに対する長時間安定性と精度の面で顕著な進展を示している。

ABSTRACT

In this paper, we propose a first-order Fourier integrator for solving the cubic nonlinear Schrodinger equation in one dimension. The scheme is explicit and can be implemented using the fast Fourier transform. By a rigorous analysis, we prove that the new scheme provides the first order accuracy in $H^\gamma$ for any initial data belonging to $H^\gamma$, for any $\gamma >\frac32$. That is, up to some fixed time $T$, there exists some constant $C=C(\|u\|_{L^\infty([0,T]; H^{\gamma})})>0$, such that $$ \|u^n-u(t_n)\|_{H^\gamma(\mathbb T)}\le C au, $$ where $u^n$ denotes the numerical solution at $t_n=n au$. Moreover, the mass of the numerical solution $M(u^n)$ verifies $$ \left|M(u^n)-M(u_0) ight|\le C au^5. $$ In particular, our scheme dose not cost any additional derivative for the first-order convergence and the numerical solution obeys the almost mass conservation law. Furthermore, if $u_0\in H^1(\mathbb T)$, we rigorously prove that $$ \|u^n-u(t_n)\|_{H^1(\mathbb T)}\le C au^{\frac12-}, $$ where $C= C(\|u_0\|_{H^1(\mathbb T)})>0$.

研究の動機と目的

• トーラス上の一様次元立方非線形シュレーディンガー方程式に対して、追加の正則性を要せず、任意の $\gamma > \frac{3}{2}$ で $H^\gamma$ で最初の順序収束を達成する数値スキームの開発。
• 低正則性初期データに対しても、$O(\Delta t^5)$ の誤差で数値解が質量をほぼ正確に保存することの保証。
• 初期データが $H^\gamma$ および $H^1$ に属する場合の、ソボレフノルムにおける最適な誤差境界を確立する厳密な収束解析の提供。

提案手法

• スキームは、高速フーリエ変換を用いた空間方向のスペクトルコロケーションに基づく最初の順序フーリエ積分法に立脚している。
• 線形部と非線形部を分離する分割戦略を採用し、フーリエ空間における明示的時間積分を可能にしている。
• 非線形シュレーディンガー方程式の構造を保つように設計されており、長時間にわたり安定性と精度を確保している。
• エネルギー推定と $H^\gamma$ ノルムにおける交換子推定を用いた厳密な誤差解析により、収束速度を確立している。
• 非線形相互作用項の制御には、非線形性の構造を活用し、高周波成分を精密に制御している。
• スキームが $O(\Delta t^5)$ の誤差で質量を保存することを示しており、これは長時間シミュレーションにおいて重要な特徴である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上の一様次元立方非線形シュレーディンガー方程式に対して、追加の正則性を要せず、$\gamma > \frac{3}{2}$ で $H^\gamma$ で最適な収束を達成する最初の順序フーリエ積分法を構築可能か？
• RQ2 提案されたスキームは、低正則性初期データに対しても、特に $O(\Delta t^5)$ の高次精度で質量保存を維持するか？
• RQ3 $H^1(\mathbb{T})$ に属する初期データに対する $H^1$ での収束速度は何か？理論的期待値と一致するか？

主な発見

• 任意の $\gamma > \frac{3}{2}$ に対して、$H^\gamma(\mathbb{T})$ で最初の順序収束が達成され、誤差は $C \Delta t$ で有界であり、$C$ は解の $L^\infty([0,T]; H^\gamma)$ ノルムに依存する。
• 数値解の質量は $|M(u^n) - M(u_0)| \le C \Delta t^5$ を満たし、高次精度の準質量保存を示している。
• $H^1(\mathbb{T})$ に属する初期データに対して、収束速度は任意の $\varepsilon > 0$ に対して $O(\Delta t^{1/2 - \varepsilon})$ であり、与えられた正則性下で最適である。
• 収束結果を得るにあたり、$H^\gamma$ を超える追加の微分正則性は必要とせず、これは従来のスキームに比して顕著な改善である。
• スキームは明示的であり、高速フーリエ変換を用いた効率的な実装が可能であり、実用的な長時間シミュレーションを可能としている。
• 厳密な解析により、低正則性初期データに対しても、固定時間区間内で安定性と精度を維持することが確認された。