[論文レビュー] A first-principles derivation of York scaling and the Lichnerowicz-York equation

Edward Anderson, Julian Barbour+3 more|ArXiv.org|Apr 22, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、微分同相変換および体積保存的共形変換に対して不変な、幾何力学におけるゲージ理論的アプローチを用いて、ヨークスケーリングおよびリヒネロヴィッチ–ヨーク方程式を第一原理から導出する。主な結果は、時空構造を事前に仮定せずに、対称性の原理から、CMC条件、運動量制約、 lapse 固定方程式が自然に生じることを示している。

ABSTRACT

The only efficient and robust method of generating consistent initial data in general relativity is the conformal technique initiated by Lichnerowicz and perfected by York. In the spatially compact case, the complete scheme consists of the Arnowitt-Deser-Misner (ADM) Hamiltonian and momentum constraints, the ADM Euler-Lagrange equations, York's constant-mean-curvature (CMC) condition, and a lapse-fixing equation (LFE) that ensures propagation of the CMC condition by the Euler-Lagrange equations. The Hamiltonian constraint is rewritten as the Lichnerowicz-York equation for the conformal factor (psi) of the physical metric (psi)^4(g_{ij}) given an initial unphysical 3-metric (g_{ij}). The CMC condition and LFE introduce a distinguished foliation (definition of simultaneity) on spacetime, and separate scaling laws for the canonical momenta and their trace are used. In this article, we derive all these features in a single package by seeking a gauge theory of geometrodynamics (evolving 3-geometries) invariant under both three-dimensional diffeomorphisms and volume-preserving conformal transformations.

研究の動機と目的

• 時空幾何を仮定せずに一般相対性理論における共形初期データ法を基本原理から導出すること。
• 微分同相変換および共形変換に対して不変な3次元幾何のゲージ理論を構築することで、一般相対性理論の初期値問題を解決すること。
• CMC条件、運動量制約、lapse 固定方程式が、対称性および変分原理から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• 時間ラベル λ の再パrametr化に対して不変な、Baierlein–Sharp–Wheeler 型の作用を定式化し、これが固有時間の出現をもたらす。
• λ に依存する3次元微分同相変換および共形変換に対する不変性を保つために、ゲージ場 ξi と共形因子 φ を導入する。
• 共形因子 φ に関する変分により、外的曲率のトレースに関する制約として CMC 条件を導出する。
• 物理的でない3次元計量の配置空間上で変分原理を適用し、物理的計量 ψ⁴gij に対するリヒネロヴィッチ–ヨーク方程式を導出する。
• φ および ξi に関する変分を通じて一貫性条件を実装し、CMC 補助のための lapse 固定方程式を導出する。
• CMC および共形不変性を課した後、ハミルトニアン制約がリヒネロヴィッチ–ヨーク方程式に簡約されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空構造や事前に4次元共変性を仮定せずに、ヨークスケーリングおよびリヒネロヴィッチ–ヨーク方程式をどのように導出できるか？
• RQ2 共形不変性と微分同相変換不変性が、CMC 補助および一貫した初期データの生成に果たす役割は何か？
• RQ3 運動量制約と lapse 固定方程式が、一つの変分原理からどのように制約として生じるか？
• RQ4 一般相対性理論の初期値問題を、幾何的およびゲージ対称性の原理のみを用いて第一原理から導出できるか？
• RQ5 共形因子 ψ の物理的起源は何か？また、物理的計量への非物理的計量の変換において、その役割は何か？

主な発見

• CMC 条件は、共形因子 φ に関する作用の変分から生じる制約として現れ、時空の適切な補助を保証する。
• 運動量制約は、正準運動量の発散なしの条件として導出され、標準的一般相対性理論の運動量制約と形式的に同一である。
• φ および ξi に関する変分から得られる一貫性条件は、CMC 条件の伝搬を保証する lapse 固定方程式を導く。
• リヒネロヴィッチ–ヨーク方程式は、CMC および共形不変性を課した後の共形枠組みにおけるハミルトニアン制約として示される。
• lapse 関数 N は、物理的計量、スカラー曲率、運動量密度に依存する適切に定義された楕円型方程式によって決定される。
• この手法は、正準変数 gij を通じて物理的長さスケールを固定するが、運動量にパrameterを導入するのではなく、初期データ生成におけるスケール固定の新しい視点を提供する。