[論文レビュー] A fixed-point iteration method for the number Pi with arbitrary odd order of convergence based on the sine function

Alois Schiessl|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2026

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ひとこと要約

この論文は、任意の奇数収束次数 2P+1 を持つ pi の計算のための固定点反復を導入し、正弦ベースの有限和 S(x) を用いて x_{n+1}=x_n+S(x_n) を反復する。

ABSTRACT

In this paper, we present a fixed point method for high-precision computation of number $π$ based on the sine function. Let $P\in \mathbb{N}$. We define the function: \[ S\left(x ight) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell} ight)\frac{\sin\left(x ight)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\,. \] For every initial value $x_0$ sufficiently close to $π$, the sequence \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n} ight)\;;\,n=0,1,\ldots\] is converging to $π$ with order of convergence exactly $\left(2\,P+1 ight)$. The computational tests we performed demonstrate the efficiency of the method. \[\] \[ extbf{Zusammenfassung}\] In dieser Abhandlung stellen wir ein Fixpunktverfahren zur Berechnung der Kreiszahl $π$ auf Basis der sinus Funktion vor. Es sei $P\in \mathbb{N}$. Wir definieren die Funktion: \[ S\left(x ight) =x+\sum_{k=1}^{P}\left(\prod_{\ell=1}^{k-1}\frac {2\,\ell-1}{2\,\ell} ight)\frac{\sin\left(x ight)^{2\,k-1}}{2\,k-1}\;. \] Für jeden Startwert $x_0$ hinreichend nahe bei $π$ konvergiert die Folge \[x_{n+1}=x_n+S\left(x_{n} ight)\;;\,n=0,1,\ldots\] gegen $π$ mit Konvergenzordnung genau $\left(2\,P+1 ight)$. Anhand von praktischen Berechnungen zeigen wir die Effizienz des Verfahrens. \[ ext{Deutsche Version ab Seite 19}\]

研究の動機と目的

• pi の高精度計算の動機づけと、正弦関数を用いて高次収束を得ること。
• アークサイン系列と正弦べき乗を基に pi を固定点とする S(x) の固定点フレームワークを定義する。
• 収束性の性質を確立し、厳密な収束次数（2P+1）および pi における導関数の挙動を示す。
• 高精度の pi の実装の実務的詳細を提供し、係数の事前計算と高精度 pi の反復方式を含む。
• 数値実験と高精度計算による実務的な効率性を実証する。

提案手法

• S(x) = x + sum_{k=1}^{P} (prod_{l=1}^{k-1} (2l-1)/(2l)) * sin(x)^{2k-1} /(2k-1).
• S(pi) = pi を示し、導関数 S^{(k)}(pi) を計算して収束次数を確立する。
• pi の近傍で Banach の不動点定理を用いて収束性を証明する。
• S^{(k)}(pi) = 0 for 1 <= k <= 2P および S^{(2P+1)}(pi) = (prod_{l=1}^{P} (2l-1))^2 を証明する。
• 漸近的誤差定数と厳密な収束次数 2P+1 を導出する。
• 係数 c_k の事前計算と x_{n+1} = x_n + sum_{k=1}^{P} c_k sin(x_n)^{2k-1} という反復更新を含む実務的計算手順を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 constructed function S(x) の固定点として pi を特徴づけることができるか。
• RQ2 固定点 pi における S の導関数はどうなるか、そしてそれらは収束次数をどう決定するか。
• RQ3 与えられた P に対する固定点反復の厳密な収束次数はいくつか。
• RQ4 高精度実装のために係数を効率的に計算・格納するにはどうすればよいか。
• RQ5 実務的な高精度計算（例：pi の桁数を大きく達成するなど）において手法はどう機能するか。

主な発見

• 固定点反復は pi に対して正確に 2P+1 の次数で収束する。
• 導関数は 1 <= k <= 2P に対して S^{(k)}(pi)=0 であり、S^{(2P+1)}(pi) = (prod_{l=1}^{P} (2l-1))^2 である。