[論文レビュー] A fixed point theorem for closed-graphed decomposable-valued correspondences

Idione Meneghel, Rabee Tourky|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、原子でない測度空間上の閉グラフをもつ分解可能値をとる対応について、コンパクト性の要件を緩和することで、先行研究を拡張した固定点定理を確立する。主な貢献は、逐次的閉グラフをもつ分解可能な写像についての新たな固定点存在結果であり、これはセルビナらの定理を改善するもので、範囲におけるノルムコンパクト性の必要性を排除し、代わりに$μ$-一様コンパクト性と点ごとの収束位相における距離化可能性に依存する。

ABSTRACT

We prove a fixed point theorem for closed-graphed, decomposable-valued correspondences whose domain and range is a decomposable set of functions from an atomless measure space to a topological space. One consequence is an improvement of the fixed point theorem in Cellina, Colombo, and Fonda (1986).

研究の動機と目的

• 原子でない測度空間の文脈において、閉グラフをもつ分解可能値をとる対応についての固定点定理を確立すること。
• セルビナらの固定点結果を一般化し、範囲におけるノルムコンパクト性を$μ$-一様コンパクト性に置き換えること。
• 点ごとの収束位相におけるコンパクトで距離化可能な部分集合が$μ$-固定点性質を有することを示すこと。
• 主観的不確実性を有する戦略的モデルやベイジアンゲームにおける固定点解析の基盤を提供すること。

提案手法

• 証明は、$L([0,1],C)$から$L(S,T)$への逐次的点ごとの連続写像$\theta$を構成し、位相的性質を移す。ここで$C$はカントール集合である。
• 原子でない測度空間における可測集合の最大鎖を用いて、$S$の各点に$[0,1]$の実数を割り当てる可測関数$r(s)$を定義し、関数のリフトを可能にする。
• この構成により、可算集合上で異なる関数が$μ$零集合上で異なる関数に写されるように保証され、本質的同値性が保存される。
• エイレンバーグ＝モンゴメリーの固定点定理を活用し、$\theta$による分解可能な集合の逆像が再び分解可能であり、結果としてコンパクトな絶対リトラクトであることを示す。
• 証明は、点ごとの収束位相における$\mathcal{L}(S,T)$内の単調関数の集合がペアノ連続体をなしており、局所的連結性および絶対リトラクト性を保証することを確立する。
• 固定点定理を逆像空間上の対応$\tilde{Q}$に適用し、エイレンバーグ＝モンゴメリーの定理により固定点の存在を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 範囲におけるノルムコンパクト性を要件としないで、分解可能値をとる対応についての固定点定理を確立できるか？
• RQ2 どのような位相的および測度論的条件下で、閉グラフをもつ分解可能値をとる対応が固定点をもつのか？
• RQ3 点ごとの収束位相におけるコンパクトで距離化可能な部分集合は、$μ$-固定点性質をもつ逐次的コンパクト集合に埋め込めるか？
• RQ4 $L_1(\mu, L)$における分解可能な集合の構造は、逐次的閉性と固定点の存在性とどのように関係するか？
• RQ5 点ごとの収束位相は、関数空間上の対応についての固定点結果を可能にする上で、どのような役割を果たすのか？

主な発見

• 原子でない測度空間上の閉グラフをもつ分解可能値をとる対応について、ノルムコンパクト性の必要性を緩和することで、先行研究を一般化した固定点定理が確立された。
• 主な結果は、対応$B$が閉グラフをもち、分解可能値をとり、すべての$f \in X$に対して$X \cap B(f) \neq \emptyset$を満たす場合、$X$が$\mu$-一様コンパクトであれば、$B$は固定点をもつことである。
• 点ごとの収束位相における$\mathcal{L}(S,T)$のコンパクトで距離化可能な部分集合は、$\mu$-固定点性質をもつ逐次的コンパクト集合$Y$に埋め込める。
• $\theta$の構成により、逐次的点ごとの収束が保たれ、かつ可算集合上で異なる関数が$μ$零集合上で異なる関数に写されることが保証された。
• 逆像空間$((\mathcal{G} \cap \mathcal{M})^{\leftarrow}, \delta)$がペアノ連続体であり、したがってコンパクトな絶対リトラクトであることが示され、エイレンバーグ＝モンゴメリーの固定点定理の適用が可能となった。
• 空間$\mathcal{Z}^{\leftarrow}$上の対応$\tilde{Q}$は閉グラフをもち、したがって固定点をもつことが示され、定理2.2の証明が完了した。