[論文レビュー] A FIXED POINT THEOREM FOR TOPOLOGICALLY ANOSOV PLANE HOMEOMORPHISMS

Gonzalo Cousillas|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平面における向きを保つ位相的Anosovホメオモルフィズムについて、一般化された拡張性とシャロウイング性を備えた力学系のクラスを導入し、固定点定理を確立する。主な貢献は、このようなホメオモルフィズムが平面に存在する場合、少なくとも1つの固定点を有する必要があることを証明することであり、古典的結果をより広い位相的設定へと拡張する。

ABSTRACT

Certain notions of expansivity and shadowing were defined on topological spaces which are dynamical properties and generalize the usual definitions. A Topologically Anosov homeomorphism is a homeomorphism with such properties. We exhibit explicit examples of Topologically Anosov homeomorphisms on the plane. Our main result is a fixed point theorem for orientation preserving Topologically Anosov plane homeomorphisms.

研究の動機と目的

• 位相空間における一般化された拡張性とシャロウイングを用いて、位相的Anosovホメオモルフィズムを定義・研究すること。
• 平面におけるこのようなホメオモルフィズムの明示的例を構成すること。
• 平面における向きを保つ位相的Anosov写像についての固定点定理を確立すること。
• 微分可能でないAnosov系を超える、より広いクラスの力学系へと古典的固定点結果を拡張すること。

提案手法

• 本稿は、拡張性とシャロウイングの位相的類似物を用いて、位相的Anosovホメオモルフィズムを定義する。
• 位相的力学系の技法を用いて、平面におけるこのようなホメオモルフィズムの明示的例を構成する。
• 固定点定理の証明は、平面における向きを保つ写像に内在する位相的および力学的性質に依存する。
• これらの写像のグローバルな挙動を分析するために、平面位相および力学系理論の道具を適用する。
• 周期点の不在と平面の構造を用いて、固定点の存在を強制する。
• 微分可能性を要件とせず、純粋に位相的および力学的条件に依拠して結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面における向きを保つ位相的Anosovホメオモルフィズムは、すべて固定点を有するか？
• RQ2 平面における位相的Anosovホメオモルフィズムの明示的例は何か？
• RQ3 位相的拡張性とシャロウイングは、古典的Anosov力学系をどのように一般化するか？
• RQ4 これらの力学的条件下で、固定点の存在を強制する平面の位相的制約は何か？

主な発見

• 本稿は、平面における向きを保つすべての位相的Anosovホメオモルフィズムが、少なくとも1つの固定点を有することを証明する。
• 平面における位相的Anosovホメオモルフィズムの明示的構成が提示され、このような写像の存在が示される。
• 位相的Anosov写像のクラスは、非滑らかな系を含み、古典的C^1 Anosov微分同相写像を超えて拡張される。
• 固定点の結果は、微分可能性を要件とせず、純粋に位相的および力学的仮定に依拠して成立する。
• 定理は、平面に固定点のないようなこれらの写像の存在に対する位相的障害を確立する。
• 結果は、拡張性とシャロウイングによって定義されるより広いクラスの力学系へと、古典的固定点定理を一般化する。