[論文レビュー] A Fixed Points Approach to stability of the Pexider Equation

Elhoucien Elqorachi, John Michael Rassias+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Functional Equations Stability Results参考文献 40被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、完全なβノルム空間における固定点法を用いて、一般化されたPexider関数方程式のHyers-Ulam-Rassias安定性を確立する。収縮写像を伴う固定点定理を適用することで、制御関数の条件下で一般化されたPexider方程式の解の存在と一意性を証明し、2次およびJensen型方程式への安定性結果を明示的な誤差境界とともに拡張する。

ABSTRACT

Using the fixed point theorem we establish the Hyers-Ulam-Rassias stability of the generalized Pexider functional equation $$\frac{1}{\mid K\mid}\sum_{k\in K}f(x+k\cdot y)=g(x)+h(y),\;\;x,y\in E$$ from a normed space $E$ into a complete $β$-normed space $F$, where $K$ is a finite abelian subgroup of the automorphism group of the group $(E,+)$.

研究の動機と目的

• ベクトル空間における一般化されたPexider関数方程式のHyers-Ulam-Rassias安定性を調査すること。
• 固定点アプローチを用いて、2次およびJensen型方程式の既存の安定性結果を拡張すること。
• 完全なβノルム空間における近似解の明示的誤差推定を確立すること。
• 一般制御関数条件の下で、先行研究のPexider方程式に関する結果を一般化すること。
• リプシッツ定数が1未満である固定点定理を用いた安定性の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者たちは、リプシッツ定数L < 1を有する厳密に収縮写像を備えた完全な一般化された距離空間における固定点定理を適用する。
• 関数の空間に一般化された距離を定義し、固定点の代替定理を用いて、一意な不動点への収束を証明する。
• この手法は、関数列の構成と、一般化されたPexider方程式の解への収束の証明を含む。
• 制御関数φ(x,y)は、近似解と正確な方程式との乖離を制御し、Kおよびβを含む同次性条件を満たす。
• 解は2次部 q(x)、Jensen型部 j(x)、加法的成分に分解され、反復的推定により誤差境界が導出される。
• CădariuとRaduの先行研究を一般化し、自己同型群の作用を伴うPexider方程式に固定点法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノルム空間上の一般化されたPexider方程式の近似解が正確な解に近いかどうか、どのような条件下に成立するか？
• RQ2 固定点法は、一般化されたPexider方程式のHyers-Ulam-Rassias安定性を効果的に証明するために適用可能か？
• RQ3 βノルム空間における近似解と真の解との間の明示的誤差境界は何か？
• RQ4 自己同型群Kの構造は、安定性および解の分解にどのように影響するか？
• RQ5 この手法は、Kを適切に選ぶことで、2次およびJensen方程式の既知の安定性結果を特別な場合として回復できるか？

主な発見

• ノルム空間上で不等式 ∥(1/|K|)∑_{k∈K} f(x+k·y) - g(x) - h(y)∥_β ≤ φ(x,y) を満たす写像fに対して、一般化された2次方程式 (1.2) の一意解 q(x) および一般化されたJensen方程式 (1.3) の一意解 j(x) が存在する。
• f(x) と q(x) + j(x) + g(0) + h(0) の間の誤差は、(2/2^β)(1/(1−L))χ(x,x) + (1/2^β)(1/(1−L))ψ(x,x) で有界であり、ここで χ および ψ は制御関数φの関数として定義される。
• φ(x,y) ≤ θ(∥x∥^p + ∥y∥^p) で 0 < p < 2β−1 かつ 1/2 < β < 1 の場合、誤差境界は ∥x∥^p の関数として明示的に得られ、2^β、4^β、および3の累乗を含む定数が関与する。
• K = {I, σ} の場合、解は2次部 q(x) と反対称なJensen部 j(x)（j(σ(x)) = −j(x) を満たす）に分解され、∥x∥^p の関数として明示的な誤差境界が得られる。
• Kを適切に選ぶことで、加法的、2次、Jensen方程式の既知の安定性結果が特別な場合として回復される。
• 固定点アプローチにより、∑_{k∈K} φ(x+k·x, y+k·y) ≤ (|2K|)^β L φ(x,y) の条件下で、収縮により収束が保証され、最適な誤差推定が得られる。