[論文レビュー] A formal calculus on the Riordan near algebra

Laurent Poinsot, Gérard Duchamp|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2009

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ひとこと要約

本稿は、形式的冪級数と代入を用いてリーダン群を拡張する構造であるリーダン近代数上の形式的 calculus を導入する。収束の制約なしに一般化されたべき乗や正則関数に類似した操作を可能にする。主な貢献は、非アーベル的設定においても有効な、形式的冪級数の操作（指数関数、対数、逆数）を一般化する厳密な形式的 calculus であり、二項級数を用いた一パラメータ群としての一般化されたべき乗を定義する。

ABSTRACT

The Riordan group is the semi-direct product of a multiplicative group of invertible series and a group, under substitution, of non units. The Riordan near algebra, as introduced in this paper, is the Cartesian product of the algebra of formal power series and its principal ideal of non units, equipped with a product that extends the multiplication of the Riordan group. The later is naturally embedded as a subgroup of units into the former. In this paper, we prove the existence of a formal calculus on the Riordan algebra. This formal calculus plays a role similar to those of holomorphic calculi in the Banach or Fréchet algebras setting, but without the constraint of a radius of convergence. Using this calculus, we define \emph{en passant} a notion of generalized powers in the Riordan group.

研究の動機と目的

• 形式的冪級数から代入を含む代数的構造への操作を拡張するリーダン近代数上の形式的 calculus を開発すること。
• 行列表現を超えて、近代数的枠組みにおける二項級数を用いてリーダン群における一般化されたべき乗の概念を一般化すること。
• 収束半径の制限なしに有効な、リーダン近代数における正則関数計算に類似した枠組みを確立すること。
• 形式的冪級数の代入の文脈において、可逆元および一パラメータ部分群を定義・特徴づけること。
• 形式的 calculus が一般化された指数関数の下で結合則、可逆性、群準同型性といった代数的性質を保存することを示すこと。

提案手法

• 本稿は、形式的冪級数の代数とその非単位元の極大イデアルのカルテジアン積としてリーダン近代数を構成し、リーダン群の演算を拡張する積を備える。
• 系列の代入を用いた形式的 calculus を定義する：形式的冪級数 $ f = \sum_{n \geq 0} f_n \mathtt{x}^n $ に対して、$ \sum_{n \geq 0} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ は近代数内で解釈される。ここで $ (\mu_+, \sigma_+) $ は $ \mu_+ \in \mathfrak{M} $、$ \sigma_+ \in \mathfrak{M} $ を満たす形式的級数である。
• 位相的同型写像 $ \phi_{(\mu_+, \sigma_+)} $ を用いて、$ \mathbb{K}[[\mathtt{x}]] $ の位相を $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ に持ち込み、位相代数として同型となるようにする。
• 一般化されたべき乗は二項級数を用いて定義される：$ (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} = \sum_{n \geq 0} \binom{\lambda}{n} g(\mu_+, \sigma_+)^{\ast n} $、ここで $ g = \sum_{n \geq 1} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ である。
• この calculus は指数関数、対数、逆数などの操作をサポートし、$ \exp(\sum f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n}) $ が代数内で可逆であることが示されている。
• 本稿は、$ \lambda \mapsto (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} $ が近代数の単元のなす群における一パラメータ部分群をなすことを証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーダン近代数上に、収束制約なしに正則関数計算に類似した形式的 calculus を定義できるか？
• RQ2 二項級数を用いて、リーダン近代数における代数的表現として一般化されたべき乗を定義できるか？
• RQ3 一般化された指数関数の下で、形式的 calculus がリーダン群の群構造を保存するか？
• RQ4 代入と同型写像は、$ \mathbb{K}[[\mathtt{x}]] $ から $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ への性質の移行に果たす役割は何か？
• RQ5 指数関数、対数、逆数といった操作が、この形式的 calculus において一貫して定義可能か？

主な発見

• 形式的 calculus は系列 $ \sum_{n \geq 0} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ を通じて定義され、リーダン群の乗法的構造を拡張するリーダン近代代数の元をなす。
• 一般化されたべき乗 $ (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} $ は、二項係数を用いてすべての $ \lambda \in \mathbb{K} $ に対して適切に定義され、リーダン群に属する。
• 写像 $ \lambda \mapsto (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast \lambda} $ は、近代代数の単元のなす群における一パラメータ部分群をなし、$ (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast(\alpha+\beta)} = (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast\alpha} \rtimes (1+\mu_+, \mathtt{x}+\sigma_+)^{\ast\beta} $ を満たす。
• $ f_0 = 1 $ のとき、系列 $ \sum_{n \geq 0} f_n (\mu_+, \sigma_+)^{\rtimes n} $ は近代代数内で可逆であり、逆元は $ \sum_{n \geq 0} (-1)^n g(\mu_+, \sigma_+)^{\ast n} $ である。ここで $ g $ は定数項を除いた系列である。
• 代数 $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ は位相代数として $ \mathbb{K}[[\mathtt{x}]] $ に同型であり、同型写像 $ \phi_{(\mu_+, \sigma_+)} $ を通じて解析的性質を移すことができる。
• 右代入 $ \sigma(\mu_+, \sigma_+) $ は $ \mathbb{K}[[\mu_+, \sigma_+]] $ 内で有効であり、同型な代数のコピーを再帰的に構成可能であり、無限に続くこのような構造の階層を生み出す。