[論文レビュー] A formulation of Noether's theorem for fractional classical fields

Sami I. Muslih|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、変分原理を分数階の場の系に拡張することで、分数階古典場に対するネーターの定理を定式化し、分数階オーダーのオイラー＝ラグランジュ方程式とそれに対応する保存則を導出する。主な貢献は、分数階ディラック場に対する保存電流の導出であり、整数階でないオーダーの場理論へのネーターの定理の一般化を実現している。

ABSTRACT

This paper presents a formulation of Noether's theorem for fractional classical fields. We extend the variational formulations for fractional discrete systems to fractional field systems. By applying the variational principle to a fractional action $S$, we obtain the fractional Euler-Lagrange equations of motion. Considerations of the Noether's variational problem for discrete systems whose action is invariant under gauge transformations will be extended to fractional variational problems for classical fields. The conservation laws associated with fractional classical fields are derived. As an example we present the conservation laws for the fractional Dirac fields.

研究の動機と目的

• 整数階から分数階の古典的場理論へのネーターの定理の拡張を目的とする。
• 分数階の場の作用に対して変分原理を定式化し、それに対応する分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 分数階の場の系における対称性を特定し、それに対応する保存則を導出する。
• フレームワークを具体的に分数階ディラック場に適用し、その保存電流を導出する。

提案手法

• リーマン＝リウヴィル型またはキャプト型の分数階微分を用いて、分数階作用への変分原理を適応する。
• 分数階作用関数の停留条件から、分数階オイラー＝ラグランジュ方程式の運動方程式を導出する。
• 離散的分数階系からのネーターの変分問題を、連続的分数階場の系へ拡張する。
• 分数階作用における連続的対称性を特定し、ネーター電流構成法を用いて対応する保存電流を導出する。
• 形式的枠組みを分数階ディラック場のラグランジアンに適用し、明示的な保存則を計算する。
• ゲージ不変性および対称性変換を用いて、分数階場理論における保存量を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネーターの定理はどのように分数階古典的場理論に一般化できるか？
• RQ2 場理論における分数階作用原理から導かれる分数階オイラー＝ラグランジュ方程式は何か？
• RQ3 分数階の場の系における連続的対称性から生じる保存則は何か？
• RQ4 分数階ディラック場の保存電流は、整数階の対応物とどのように異なるか？
• RQ5 分数階微分は、場理論における対称性と保存則の保存にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿では、分数階作用関数に変分原理を適用することで、古典的場のための分数階オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 連続的対称性から分数階場理論における保存則を導出する一般枠組みを確立する。
• 分数階ディラック場の保存電流が明示的に計算され、形式的枠組みの適用可能性が示された。
• 分数階設定においてもネーターの定理の構造が保たれ、対称性と保存則が結びつけられる。
• 結果として、ゲージ変換のもとで分数階場理論が保存量を有することを示し、整数階理論と類似した性質を示した。
• この枠組みにより、非整数階の場系へのネーターの定理の適用範囲が拡張され、分数階の対称性と保存則の研究が可能になった。