[論文レビュー] A Four Function Variational Principle for Barotropic Magnetohydrodynamics

Asher Yahalom|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2008

Solar and Space Plasma Dynamics参考文献 24被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、非定常なバロトロピック磁気流体力学のための4関数Euler的変分原理を提示する。この原理により、速度、磁場、密度の7つの場の記述が、χ、η、ν、ρの4つのスカラー関数に簡略化される。形式は、速度および磁場のポテンシャル表現に基づくラグランジアン密度を用い、すべての支配方程式が変分微分によって得られる。計算複雑性の低減により、数値シミュレーションおよび安定性解析が可能となる。

ABSTRACT

Variational principles for magnetohydrodynamics were introduced by previous authors both in Lagrangian and Eulerian form. In a previous work Yahalom & Lynden-Bell introduced a simpler Eulerian variational principles from which all the relevant equations of magnetohydrodynamics can be derived. The variational principle was given in terms of six independent functions for non-stationary flows and three independent functions for stationary flows. This is less then the seven variables which appear in the standard equations of magnetohydrodynamics which are the magnetic field $\vec B$ the velocity field $\vec v$ and the density $ρ$. In this work I will improve on the previous results showing that non-stationary magnetohydrodynamics should be described by four functions .

研究の動機と目的

• 非定常なバロトロピック磁気流体力学における独立変数の数を7つから4つに削減すること。
• 追加の制約なしに、すべてのMHD方程式を生成する変分原理を開発すること。
• ヤハロムとラインデンベルグの6関数形式を改善し、よりコン act で計算効率の高い形式を構築すること。
• 対称性に適合したラグランジアンフレームワークを用いて、直接的な数値シミュレーションおよび安定性解析を可能にすること。

提案手法

• 磁場を B = ∇χ × ∇η として表現することで、∇·B = 0 が自動的に満たされるようにする。
• 速度場を v = ∇ν + α∇χ + β∇η として表現し、Clebsch表現を一般化する。
• χ、η、ν、ρに依存するラグランジアン密度を構築し、時間微分および空間勾配を含む明示的形をとらせる。
• 作用の変分微分を0とおくことで運動方程式を導出し、保存則および力学的方程式を得る。
• ヤコビアン行列式が1である無限大の対称性群を用いて、ネーターの定理により2つの局所的保存則を導出する。
• 2階微分方程式を、数値的取り扱いやすい2階と2階の混合系に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定常な状況下で、バロトロピック磁気流体力学を6つ未満の独立関数で記述できるか？
• RQ2 補助的制約なしに、すべてのMHD方程式を生成する変分原理をどのように構築できるか？
• RQ3 非定常なバロトロピック磁気流体力学を完全に記述するのに必要な最小のスカラー関数の集合は何か？
• RQ4 ラグランジアンにおける対称性が、クロスヘリシティなどの保存則をどのように導くか？
• RQ5 この簡略化された形式は、数値シミュレーションの効率および安定性解析を向上させられるか？

主な発見

• 本稿では、非定常なバロトロピック磁気流体力学を記述するために、χ、η、ν、ρの4つのスカラー関数が十分であることが確立された。
• 変分原理により、連続の方程式、運動量方程式、およびαとβの時間発展方程式が、1階の変分微分によって得られる。
• ラグランジアン密度は、ヤコビアン行列式が1である無限大の対称性群を有し、ネーターの定理により2つの局所的保存則が導かれる。
• 系は、χおよびηのための2階と2階のPDEの混合系に簡略化され、計算効率の良い数値積分が可能になる。
• 従来のFLUIDEXソフトウェアを用いた研究で示されたように、元の場の記述を解かずに直接的な数値シミュレーションが可能となる。
• 追加の運動積分を作用に組み込むことで、将来的な安定性解析の基盤を提供する。