[論文レビュー] A Fourier Pseudospectral Method for the "Good" Boussinesq Equation with Second Order Temporal Accuracy

Kelong Cheng, Wenqiang Feng+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$u_t$ を近似するための中間変数 $\psi$ を用いた、第二階精度で完全離散化されたフーリエ擬スペクトル法を、'良い' Boussinesq 方程式に適用する。この手法により、無条件安定性と改善された収束性が達成され、$u$ に関して $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ の誤差推定、$\psi$ に関して $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ の誤差推定が得られ、先行研究における $\Delta t \leq Ch^2$ の厳しい時間刻み制限を克服する。

ABSTRACT

In this paper, we discuss the nonlinear stability and convergence of a fully discrete Fourier pseudospectral method coupled with a specially designed second order time-stepping for the numerical solution of the "good" Boussinesq equation. Our analysis improves the existing results presented in earlier literature in two ways. First, an $l_\infty(0, T^*; H2)$ convergence for the solution and $l_\infty(0, T^*; l_2)$ convergence for the time-derivative of the solution are obtained in this paper, instead of the $l_\infty(0, T^*; l_2)$ convergence for the solution and the $l_\infty(0, T^*; H^{-2})$ convergence for the time-derivative, given in [17]. In addition, the stability and convergence of this method is shown to be unconditional for the time step in terms of the spatial grid size, compared with a severe restriction time step restriction $Δt \leq Ch^2$ reported in [17].

研究の動機と目的

• 第二階時間精度を有する完全離散化フーリエ擬スペクトルスキームを、'良い' Boussinesq 方程式に開発すること。
• 先行研究 [17] に見られる $\Delta t \leq Ch^2$ の厳しい時間刻み制限を克服することにより、細かいグリッド上での効率性を向上させること。
• $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ の誤差推定を $u$ に関して、$\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ を $\psi = u_t$ に関して証明することにより、収束率を改善すること。
• 中間変数 $\psi$ を導入し、新しいアリヤジング誤差制御技術を用いることで、無条件安定性を達成すること。
• ベンチマーク用の孤立波解を用いて、第二階時間精度とスペクトル的空間精度を数値的に検証すること。

提案手法

• 時間微分 $u_t$ を近似するための中間変数 $\psi$ を導入し、第二階双曲型方程式を時間に関して一階系に再定式化する。
• 中心差分を $\psi$ に、中点近似を $u$ に用いる第二階精度のストラング分裂に類似した時間離散化を適用し、第二階時間精度を保証する。
• 周期的境界条件を満たすフーリエ擬スペクトル空間離散化を用い、空間的スペクトル精度を達成する。
• 非線形項を管理し、$H^2$ ノルムにおける高次収束を可能にするために、新しいアリヤジング誤差制御推定（補題 2.1）を採用する。
• $L^2$ および $H^2$ ノルムを用いたエネルギー型推定を導出し、時間刻み制限なしに非線形安定性と収束性を証明する。
• 離散的 $H^2$ ノルムとフーリエスペクトルノルムの等価性を用い、誤差解析における高次導関数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全離散化フーリエ擬スペクトル法は、'良い' Boussinesq 方程式に対して、厳しい時間刻み制限が存在しない第二階時間精度を達成できるか？
• RQ2 収束解析を改善し、$u$ に関して $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ の誤差推定、$\psi = u_t$ に関して $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ の誤差推定を達成できるか？
• RQ3 新しい定式化と解析により、先行研究に見られる $\Delta t \leq Ch^2$ の時間刻み制限を排除できるか？
• RQ4 中間変数 $\psi$ の導入が、擬スペクトルスキームの安定性と収束性にどのように影響するか？
• RQ5 提案されたスキームの時間および空間における実際の収束次数は、数値的にどのように確認されるか？

主な発見

• 提案された手法は、解 $u$ に関して $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{2})$ 収束、時間微分 $\psi = u_t$ に関して $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ 収束を達成しており、[17] で報告された $\ell^{\infty}(0,T^{*};\ell^{2})$ および $\ell^{\infty}(0,T^{*};H^{-2})$ 収束よりも向上している。
• 時間刻み $\Delta t$ と空間グリッドサイズ $h$ の関係に制限がない無条件安定性を有しており、先行研究に見られる制限的 $\Delta t \leq Ch^2$ 条件の必要性が排除される。
• 数値実験により、$u$ および $\psi$ ともに第二階収束が確認され、誤差が $\mathcal{O}(\Delta t^2)$ のスケーリングを示しており、誤差曲線が $C N_K^{-2}$ に適合している。
• 空間収束はスペクトル的正確であり、グリッド点数 $N$ を増加させると、誤差は $N$ の任意の多項式よりも速く減少する。
• アリヤジング誤差制御技術（補題 2.1）は、高次 $H^2$ 収束推定を可能にし、負ノルム推定の必要性を回避するために不可欠である。
• 中間変数 $\psi$ の使用は、安定性条件の改善に加え、整合性および誤差解析の簡素化をもたらし、より強固な非線形安定性証明を可能にする。