[論文レビュー] A $\frac{3}{2}$-Approximation Algorithm for Tree Augmentation via Chvátal-Gomory Cuts

Fiorini, Samuel, Groß, Martin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、リンクコストが定数 M で有界である重み付き木拡張問題（WTAP）に対する、新しい LP に基づく 3/2 + ε-近似アルゴリズムを提示する。標準のカット LP に 0-1/2 Chvátal-Gomory カット（「奇数カット LP」として知られる）を追加し、先行研究のバndl制約を統合することで、より良い丸め保証が得られ、TAP に対して既知の最良近似因子に一致する最初の LP に基づくアルゴリズムが得られ、有界コスト下での WTAP に対して、以前の ≈1.96418 + ε よりも優れた結果を得た。

ABSTRACT

In the Tree Augmentation problem we are given a tree T=(V,F) and a set E of edges with positive integer costs {c_e:e in E}. The goal is to augment T by a minimum cost edge set J subseteq E such that T cup J is 2-edge-connected. We obtain the following results. Recently, Adjiashvili [SODA 17] introduced a novel LP for the problem and used it to break the 2-approximation barrier for instances when the maximum cost M of an edge in E is bounded by a constant; his algorithm computes a 1.96418+epsilon approximate solution in time n^{{(M/epsilon^2)}^{O(1)}}. Using a simpler LP, we achieve ratio 12/7+epsilon in time ^{O(M/epsilon^2)}. This also gives ratio better than 2 for logarithmic costs, and not only for constant costs. In addition, we will show that (for arbitrary costs) the problem admits ratio 3/2 for trees of diameter <= 7. One of the oldest open questions for the problem is whether for unit costs (when M=1) the standard LP-relaxation, so called Cut-LP, has integrality gap less than 2. We resolve this open question by proving that for unit costs the integrality gap of the Cut-LP is at most 28/15=2-2/15. In addition, we will suggest another natural LP-relaxation that is much simpler than the ones in previous work, and prove that it has integrality gap at most 7/4.

研究の動機と目的

• リンクコストが有界な重み付き木拡張問題（WTAP）のための、より良い近似アルゴリズムの開発。
• WTAP の最良近似因子と、重みなしケース（TAP）で知られている 3/2-近似との差を埋める。
• Adjiashvili が得た以前の ≈1.96418 + ε よりも良い近似保証を持つ LP に基づくアルゴリズムを達成すること。
• 強い LP リラクセーションと分解技術の組み合わせが、よりタイトな丸めと改善された近似比を可能にすることを示すこと。

提案手法

• WTAP の標準カット LP に、すべての 0-1/2 Chvátal-Gomory カットを追加して「奇数カット LP」を導入。
• 積分バイネット行列の理論を用いて、クロスリンクおよびアップリンクのみを含むインスタンスにおいて、奇数カット LP が積分的であることを証明。
• 奇数カット LP を Adjiashvili のアプローチからのバndl制約と組み合わせ、アルゴリズムで使用する「奇数カットバndl LP」を構築。
• 4M/ε²-スリムな辺分解を適用して、独立した部分問題にインスタンスを分割し、各部分問題が 10M/ε²-シンプル構造を持つようにする。
• 2種類の異なる丸め手順を適用：クロス/アップリンクインスタンスでは奇数カット LP の積分性に基づき、インラックが多いケースではバndl制約に基づく丸め。
• 2つの丸め戦略を組み合わせることで、解の総コストを (3/2 + ε) 倍以内に抑え、最適解の (3/2 + ε) 倍以内に保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 LP に基づくアプローチを用いて、リンクコストが有界な WTAP の近似因子を 2 よりも下げることができるか？
• RQ2 標準 LP に 0-1/2 Chvátal-Gomory カットを追加することで、より強いリラクセーションが得られ、より良い丸めが可能になるか？
• RQ3 クロスリンクおよびアップリンクインスタンスにおける奇数カット LP の積分性を活用することで、近似保証を向上させられるか？
• RQ4 奇数カット LP をバndl制約と組み合わせることで、有界コストの WTAP に対して 3/2 + ε-近似が達成可能か？
• RQ5 得られたアルゴリズムは、改善された近似因子を維持したまま多項式時間で実装可能か？

主な発見

• クロスリンクおよびアップリンクのみを含む WTAP インスタンスにおいて、奇数カット LP は積分的であり、その場合に正確な丸めが可能である。
• リンクコストが [1, M] に制限される WTAP に対して、本稿のアルゴリズムは 3/2 + ε-近似を達成し、以前の最良境界 ≈1.96418 + ε よりも優れている。
• 本アルゴリズムは LP に基づき、多項式時間で実行可能であり、有界コスト WTAP に対してこの近似因子を達成する最初の LP に基づくアルゴリズムである。
• 一般に 0-1/2 Chvátal-Gomory カットの分離が NP 困難であるにもかかわらず、奇数カット LP は効率的に解ける。
• 分解と丸めの枠組みにより、解の総コストが最適解の (3/2 + ε) 倍以内に抑えられ、ε 項は分解およびカバーのコストに起因する。
• 重みなしケース（TAP）では、この結果は既知の最良近似因子と一致し、LP に基づくアプローチが、最良の SDP に基づくアルゴリズムと同等の性能を発揮する。