[論文レビュー] A fractional-order difference Cournot duopoly game with long memory

Baogui Xin, Wei Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2019

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 88被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、Caputoの分数階微分を用いて長記憶を組み込んだ分数階差分コルノー双頭市場モデルを提案する。企業は歴史的データに基づいた意思決定が可能となる。モデルは、分数階数 ν < 0.4 のとき、0-1テストおよび分岐解析により確認されたように、カオスを示す複雑なダイナミクスを示す。長記憶効果が双頭市場における不安定性を引き起こす可能性があることが示された。

ABSTRACT

We reconsider the Cournot duopoly problem in light of the theory for long memory. We introduce the Caputo fractional-order difference calculus to classical duopoly theory to propose a fractional-order discrete Cournot duopoly game model, which allows participants to make decisions while making full use of their historical information. Then we discuss Nash equilibria and local stability by using linear approximation. Finally, we detect the chaos of the model by employing a 0-1 test algorithm.

研究の動機と目的

• 古典的コルノー双頭市場モデルに長記憶ダイナミクスを分数階差分微積分を用いて統合すること。
• 双頭市場の文脈において、歴史的情報が企業行動に与える影響を分析すること。
• 得られる非線形離散系の安定性およびカオス的挙動を調査すること。
• 分数階双頭市場モデルにおけるカオスを検出するための0-1テストアルゴリズムを適用すること。
• 分数階差分系の適用範囲を産業経済学およびゲーム理論へ拡張すること。

提案手法

• 長記憶効果をモデル化するために、Caputoの分数階差分を用いた離散的コルノー双頭市場モデルを構築する。
• 線形近似を用いてナッシュ均衡および局所的安定性条件を分析する。
• ヤコビ行列の特性方程式を導出し、局所的漸近的安定性を決定する。
• 翻訳成分（p, s）および相関係数Kの分析を通じて、0-1テストアルゴリズムを用いてカオス的挙動を検出する。
• パラメータセットを用いた数値シミュレーションにより、分岐図、時系列、位相図、およびKの散乱図を生成する。
• ガンマ関数を含む分数階差分の公式を適用する：$ q_i(n) = q_i(0) + \frac{1}{\Gamma(\nu)} \sum_{i=1}^{n} \frac{\Gamma(n-i+\nu)}{\Gamma(n-i+1)} \alpha_i q_i(i-1)(b - (c_i + 2d)q_i(i-1) - d q_j(i-1)) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階差分による長記憶の組み込みが、コルノー双頭市場の安定性にどのように影響するか？
• RQ2 分数階離散的双頭市場モデルにおいて、カオスが発生する条件は何か？
• RQ3 分数階数 ν が企業出力の分岐構造およびダイナミクス的挙動に与える影響は何か？
• RQ4 0-1テストアルゴリズムは、この長記憶経済システムにおけるカオスをどれほど信頼性高く検出できるか？
• RQ5 分数階双頭市場モデルのナッシュ均衡は解析的に求められ、局所的安定性について検証可能か？

主な発見

• 非有界ナッシュ均衡点 $ E_4 = (0.4836, 0.4726) $ は $ \nu = 0.99 $ のとき、$ \text{tr}J = -2.3101 $、$ \det J = 0.67378 $、および $ \nu > \log_2\left(\frac{\sqrt{(\text{tr}J)^2 - 4\det J} - \text{tr}J}{2}\right) = 0.9765 $ の条件下で、局所的漸近的安定であることが確認された。
• 分数階数 $ \nu < 0.4 $ のとき、0-1テストの結果 $ K \approx 1 $（$ \nu = 0.2 $ 時に $ K = 0.9752 $）により、システムにカオスが出現することが示された。
• 企業1の出力の分岐図と $ K $ の散乱図は強く一致しており、$ \nu \in (0, 0.4) $ の範囲でカオス的ダイナミクスが発生することを確認した。
• 分数階数 $ \nu = 0.2 $ の場合、企業出力の時系列は不規則的かつカオス的であり、位相図は奇妙な吸引子構造を示した。
• 分数階数 $ \nu = 0.2 $ の場合、$ (p,s) $-平面上の軌道はブラウン運動に類似した動きを示し、0-1テストによるカオス的挙動の確認がなされた。
• 本モデルは、長記憶効果が市場ダイナミクスを顕著に変化させ、単純な双頭市場設定においても不安定性と複雑な挙動を引き起こす可能性があることを示した。